• 发表：Nature Communications, 2025年10月29日在线发表

研究背景

偏微分方程（PDEs）是建模复杂物理过程的基础工具，广泛应用于地球科学、材料科学、流体力学和生物系统等领域。传统的数值方法如有限元法和无网格方法在面对高维参数空间、极端计算成本、逆问题的高试错成本以及缺失边界或初始条件等实际约束时，越来越受到理论和应用的限制。

物理信息神经网络（PINNs）通过损失函数将物理约束嵌入神经网络，整合了数据驱动学习与物理先验知识。不过，现有PINN方法主要关注通过损失函数强制执行物理约束，而很大程度上忽略了底层物理系统的显式结构特征。此外，外部损失函数只能最小化模型预测与物理机制之间的平均不一致性，对于需要强物理一致性的问题，PINN的预测并不严格遵循底层物理守恒定律。

论文解决了什么问题？

解决了物理信息神经网络无法自动发现和嵌入物理一致网络结构的问题，提出了基于物理信息蒸馏的结构发现方法。

✨ 核心创新点

• ✅物理信息蒸馏框架：通过教师-学生网络的分阶段优化，将物理正则化和参数正则化解耦

• ✅自动结构提取算法：使用聚类和参数重构自动识别和嵌入具有物理意义的结构

• ✅结构化网络重建机制：通过重新初始化确保网络结构的物理一致性，同时赋予模型适用性

一句话本质总结：通过知识蒸馏将物理约束与网络结构发现分离，实现了自动提取物理意义网络结构的新范式。

方法核心思想

Ψ-NN方法可以理解为”三步走”策略：先用教师网络学物理，再用学生网络找结构，最后重建优化网络。

• 物理信息蒸馏：教师网络使用PINN方法预测计算域，学生网络在教师输出的监督下形成蒸馏学习过程

• 结构提取：在学生网络训练过程中，正则化方法自然地驱动参数形成可被聚类算法识别的簇

• 网络重建：基于聚类结果提取与物理性质相关的参数矩阵，通过结构嵌入重建网络

关键损失函数：

其中蒸馏损失：

结构示意：

教师网络(PINN) → 物理约束学习 → 全场预测
↓
学生网络 → 参数正则化 → 聚类分析 → 结构提取
↓
重建网络 → 嵌入关系矩阵R → 物理一致结构

• 教师网络：专注于学习物理约束，生成高质量的全场数据

• 学生网络：在蒸馏监督下进行参数正则化，形成可提取的结构模式

• 聚类算法：自动识别参数矩阵中的物理意义簇

• 关系矩阵R：编码参数间的物理关系，嵌入到重建网络中

实验与结果

• 数据/任务设置：拉普拉斯方程、伯格斯方程、泊松方程以及流体力学问题

• 对比方法：标准PINN、PINN-post（后处理硬映射）

• 最突出效果：

• 拉普拉斯方程：L2误差从11.59降至0.7422（提升93.6%）

• 伯格斯方程：L2误差从14.47降至1.287（提升91.1%）

• 泊松方程：L2误差从2.633降至2.464（提升6.4%）

• 流体力学压力场：L2误差从14.89降至7.838（提升47.4%）

• 关键观察：

• 参数聚类现象明显，形成可解释的物理结构

• 网络结构具有跨参数和跨问题的泛化能力

• 训练效率显著提升，收敛速度更快

• 结构化网络在保持精度的同时具有更好的物理一致性

⚖️ 局限性与未来方向

• 局限：

• 方法依赖于已知的部分物理定律

• 聚类算法的参数选择需要经验调整

• 对于高度非线性系统的适用性有待进一步验证

• 未来方向：

• 扩展到更复杂的多物理场耦合问题

• 开发自适应聚类算法，减少人工参数调整

• 探索与其他物理约束嵌入方法的结合

• 研究在不完全已知物理定律情况下的结构发现能力

总结

Ψ-NN方法通过知识蒸馏巧妙地解决了物理约束与结构发现的冲突问题，为自动发现物理意义网络结构提供了新的有效途径，在提升预测精度的同时增强了模型的物理一致性和可解释性。