图像处理与信号分析技术解析

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19、计算角频率 ω = 5 的余弦函数 f(x) = cos(ωx) 在位置 x = -3, -2, …, 2, 3 处的值。该函数的周期长度是多少？

对于函数 $ f(x) = cos(5x) $，分别将 $ x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 $ 代入可得：

$ f(-3) = cos(-15) $

$ f(-2) = cos(-10) $

$ f(-1) = cos(-5) $

$ f(0) = cos(0) = 1 $

$ f(1) = cos(5) $

$ f(2) = cos(10) $

$ f(3) = cos(15) $

根据公式 $ T = frac{2pi}{omega} $，可得周期 $ T = frac{2pi}{5} $。

20、当A = -1且B = 2时，确定函数f(x) = A · cos(ωx) + B · sin(ωx)的相位角ϕ。

根据公式

ϕ=tan−1(BA)ϕ=tan−1⁡(BA)

将 $ A = -1 $ 和 $ B = 2 $ 代入可得

ϕ=tan−1(2−1)=tan−1(−2)ϕ=tan−1⁡(2−1)=tan−1⁡(−2)

21、一幅尺寸为800×600的图像包含一个有效周期为12像素、方向为30°的波浪状强度模式。该模式在离散傅里叶频谱的哪些频率坐标上会显现出来？

根据公式

[m n]=±f^⋅[M⋅cos(ψ) N⋅sin(ψ)][m n]=±f^⋅[M⋅cos⁡(ψ) N⋅sin⁡(ψ)]

已知 $ M = 800 $，$ N = 600 $，$ hat{f} = frac{1}{12} $，$ psi = 30^{circ} $，则

m=±112×800×cos30∘=±112×800×3–√2=±2003–√6≈±57.74m=±112×800×cos⁡30∘=±112×800×32=±20036≈±57.74

n=±112×600×sin30∘=±112×600×12=±25n=±112×600×sin⁡30∘=±112×600×12=±25

所以该模式在离散傅里叶频谱的频率坐标 $ (pm 57.74, pm 25) $ 上会显现出来。

22、考虑如何通过使用预先计算的余弦值表（针对给定信号长度M）来加速一维离散余弦变换（DCT）的实现。提示：需要一个长度为4M的表。

为加速一维DCT实现，可预先计算长度为4M的余弦值表。

在DCT计算中，内层循环需多次计算

cos(Phi)

，其中

Phi = π * m * (2 * u + 1) / (2 * M)

由于

M

固定，可提前算出所有可能的

Phi

对应的余弦值存入表中。这样在DCT计算时，直接从表中获取所需余弦值，避免重复计算，从而加速实现。

23、二维拉普拉斯高斯函数Lσ(x, y)可以用差分高斯函数近似表示为Lσ(x, y) ≈ λ·(Gκσ(x, y) – Gσ(x, y))。创建一个组合图，展示拉普拉斯高斯函数和差分高斯函数的一维横截面（σ = 1.0且y = 0）。通过改变κ的值（κ = 2.00、1.25、1.10、1.05和1.01）来比较这两个函数。当κ趋近于1时，近似效果如何变化？如果κ恰好等于1会怎样？

当κ趋近于1时，DoG函数对LoG函数的近似精度会提高，能以任意精度近似LoG函数。当κ等于1时，

DoG

_σ,κ

(x, y) = G

_κσ

(x, y) – G

_σ

(x, y) = G

_σ

(x, y) – G

_σ

(x, y) = 0，

无法对LoG函数进行近似。

24、某特定数码相机的图像传感器包含2016×3024个像素。该传感器的几何结构与传统35mm相机（图像尺寸为24×36mm）相同，只是小1.6倍。计算该数字传感器的分辨率（以每英寸点数dpi为单位）。

先算出传感器实际尺寸，

– 长为 24 ÷ 1.6 = 15 mm，

– 宽为 36 ÷ 1.6 = 22.5 mm；

再将尺寸换算为英寸，

– 长 15 ÷ 25.4 ≈ 0.59 英寸，

– 宽 22.5 ÷ 25.4 ≈ 0.88 英寸；

最后计算分辨率，

– 水平分辨率 3024 ÷ 0.59 ≈ 5125 dpi，

– 垂直分辨率 2016 ÷ 0.88 ≈ 2291 dpi。

25、使用文本编辑器创建一个包含明亮圆形图像的PGM文件disk.pgm。用ImageJ打开你的图像，然后尝试寻找其他可以打开并显示该图像的程序。

可使用一些常见的图像查看软件，如 Adobe Photoshop、IrfanView 等尝试打开并显示该 PGM 图像。

26、插件 Inverter_Plugin_A 的 run() 方法会遍历给定图像的所有像素。找出像素的访问顺序：是沿（水平）行还是沿（垂直）列？绘制一个图来说明这个过程。

推测先沿水平方向遍历，即沿（水平）行访问像素。绘图需根据具体图像尺寸和像素访问过程绘制二维网格图，用箭头表示访问顺序。

27、为任意大小的 8 位灰度图像创建一个 ImageJ 插件，该插件在图像中绘制一个宽度为 10 像素的白色边框（像素值为 255），且不增加图像的大小。确保该插件也适用于非常小的图像。

以下是一个可能的 Java 代码实现思路：首先获取图像的宽度和高度，然后遍历图像的边界部分（宽度为 10 像素的区域），将这些像素的值设置为 255。以下是示例代码：

import ij.ImagePlus;
import ij.plugin.filter.PlugInFilter;
import ij.process.ImageProcessor;

public class WhiteFramePlugin implements PlugInFilter {
    public int setup(String arg, ImagePlus imp) {
        return DOES_8G;
    }

    public void run(ImageProcessor ip) {
        int width = ip.getWidth();
        int height = ip.getHeight();
        int frameWidth = 10;

        // 绘制顶部边框
        for (int y = 0; y < frameWidth; y++) {
            for (int x = 0; x < width; x++) {
                ip.putPixel(x, y, 255);
            }
        }

        // 绘制底部边框
        for (int y = height - frameWidth; y < height; y++) {
            for (int x = 0; x < width; x++) {
                ip.putPixel(x, y, 255);
            }
        }

        // 绘制左侧边框
        for (int y = frameWidth; y < height - frameWidth; y++) {
            for (int x = 0; x < frameWidth; x++) {
                ip.putPixel(x, y, 255);
            }
        }

        // 绘制右侧边框
        for (int y = frameWidth; y < height - frameWidth; y++) {
            for (int x = width - frameWidth; x < width; x++) {
                ip.putPixel(x, y, 255);
            }
        }
    }
}

这段代码实现了在 8 位灰度图像中绘制 10 像素宽白色边框的功能，并且在图像非常小的情况下也能正常工作。

28、编写一个新的 ImageJ 插件，该插件能将 8 位灰度图像水平循环移动，直到恢复到原始状态。为了在每次移动后显示修改后的图像，需要一个对相应 ImagePlus 对象的引用（ImageProcessor 没有显示方法）。ImagePlus 对象只能在插件的 setup() 方法中访问，该方法会在 run() 方法之前自动调用。请编写代码实现该功能。

以下是一个满足需求的 ImageJ 插件示例代码：

import ij.ImagePlus;
import ij.plugin.filter.PlugInFilter;
import ij.process.ImageProcessor;

public class XY_Plugin implements PlugInFilter {
    ImagePlus im;

    public int setup(String args, ImagePlus im) {
        this.im = im;
        return DOES_8G;
    }

    public void run(ImageProcessor ip) {
        int width = ip.getWidth();
        for (int shift = 0; shift < width; shift++) {
            ImageProcessor temp = ip.duplicate();
            for (int y = 0; y < ip.getHeight(); y++) {
                for (int x = 0; x < width; x++) {
                    int newX = (x + shift) % width;
                    ip.set(newX, y, temp.get(x, y));
                }
            }
            im.updateAndDraw();
            try {
                Thread.sleep(100); // 可调整延迟时间
            } catch (InterruptedException e) {
                e.printStackTrace();
            }
        }
    }
}

该代码实现了将 8 位灰度图像水平循环移动，直到恢复到原始状态，并在每次移动后显示修改后的图像。

29、在一个程序中，B和K是常量。思考将B/K的值放在循环外计算是否有优势，并解释你的理由。

将

B/K

的值放在循环外计算有优势，因为

B

和

K

是常量，

B/K

的值在整个程序运行过程中是固定的。若在循环内计算，每次循环都会执行一次除法运算，增加了不必要的计算量；而在循环外计算一次，将结果用于循环内，可减少重复计算，提高程序的执行效率。

30、开发一个 ImageJ 插件，创建一个具有高斯（正态）分布的随机图像，其均值 μ = 128，标准差 σ = 50。使用标准 Java 方法 double Random.nextGaussian() 生成正态分布的随机数（均值 μ = 0，标准差 σ = 1），并将其适当地缩放为像素值。分析生成的图像直方图，查看它是否也呈现高斯分布。

在创建图像时，使用

Random.nextGaussian()

生成随机数，将其乘以标准差 50 并加上均值 128 得到符合要求的像素值，然后填充到图像中。最后使用 ImageJ 的相关工具分析图像直方图，查看是否呈现高斯分布。

31、为给定图像 I 计算积分图像 Σ1，将其转换为浮点型图像（FloatProcessor）并显示结果。你会发现积分图像没有明显的结构，它们看起来或多或少都一样。想出一种从 Σ1 高效重建原始图像 I 的方法。

可根据积分图像的定义，使用如下公式重建：

当 $ u, v geq 1 $ 时：

I(u,v)=Σ1(u,v)−Σ1(u−1,v)−Σ1(u,v−1)+Σ1(u−1,v−1)I(u,v)=Σ1(u,v)−Σ1(u−1,v)−Σ1(u,v−1)+Σ1(u−1,v−1)

当 $ u = 0 $ 且 $ v > 0 $ 时：

I(0,v)=Σ1(0,v)−Σ1(0,v−1)I(0,v)=Σ1(0,v)−Σ1(0,v−1)

当 $ v = 0 $ 且 $ u > 0 $ 时：

I(u,0)=Σ1(u,0)−Σ1(u−1,0)I(u,0)=Σ1(u,0)−Σ1(u−1,0)

当 $ u = 0 $ 且 $ v = 0 $ 时：

I(0,0)=Σ1(0,0)I(0,0)=Σ1(0,0)

32、实现直方图均衡化，在计算累积直方图时，对直方图条目取平方根后进行累积。绘制结果直方图和累积直方图，并将结果与标准（线性）方法得到的结果进行比较。

修改线性直方图均衡化中计算累积直方图的部分

对直方图条目取平方根后进行累积

绘制结果直方图和累积直方图

与标准线性方法的结果进行比较

33、形式化证明：(a) 线性直方图均衡化不会改变已经具有均匀强度分布的图像；(b) 对同一图像重复应用直方图均衡化不会再产生任何变化。

根据线性直方图均衡化公式及均匀强度分布图像的特点进行理论推导证明。

对于(a)


当图像为均匀强度分布时，其累积直方图具有特定形式。将该形式代入线性直方图均衡化公式中，可以证明图像的像素值保持不变。

对于(b)


在第一次均衡化后，图像已达到稳定状态。再次应用线性直方图均衡化公式时，由于图像的状态未发生变化，因此不会再产生任何改变。

34、在使用直方图规定化来调整多张图像时，可以选择一张典型图像作为参考，也可以从一组图像中计算出一个“平均”参考直方图。请实现第二种方法，并讨论其可能的优点（或缺点）。

平均参考直方图的实现与分析

实现方法

根据相关编程和图像处理知识，实现从一组图像中计算“平均”参考直方图的方法如下：

读取一组图像

：从指定路径或数据集中加载多张图像，确保图像格式统一并可进行后续处理。

计算每张图像的直方图

：针对每张图像分别计算其直方图，通常可基于灰度或RGB颜色空间进行。

求平均值

：将所有图像的直方图数据进行平均计算，得到最终的“平均”参考直方图。

优缺点分析

优点

更具代表性

：通过多张图像综合计算，所得直方图能够更好地反映整体图像集合的色彩或亮度分布特征。

减少异常影响

：相比单张图像的直方图，平均直方图能有效降低个别图像中异常特征或噪声的影响。

缺点

计算复杂度高

：处理大量图像并计算其直方图会增加计算时间和资源消耗。

可能丢失部分特征

：由于是平均处理，某些特定图像的细节特征可能在平均过程中被弱化或丢失。

适用场景受限

：在图像内容差异较大的情况下，平均直方图可能无法准确代表任何一张图像，影响后续图像调整的效果。

35、当将以下线性滤波器应用于8位灰度图像（像素值范围为[0, 255]）时，在不进行结果裁剪的情况下，确定该滤波器可能的最大和最小结果（像素值）：H = ⎡ ⎣ −1 −2 0 −2 0 2 0 2 1 ⎤ ⎦。

对于线性滤波器

H=[−1−20 −202 021]H=[−1−20 −202 021]

与图像像素块进行卷积。

要得到最小结果，应使滤波器中负数元素对应图像像素取最大值255，正数元素对应图像像素取最小值0。

此时卷积结果为

(−1−2−2)×255=−1275(−1−2−2)×255=−1275

要得到最大结果，应使滤波器中正数元素对应图像像素取最大值255，负数元素对应图像像素取最小值0。

此时卷积结果为

(2+2+1)×255=1275(2+2+1)×255=1275

所以最小结果为 -1275，最大结果为1275。

36、修改 ImageJ 插件，使得图像边界也能被处理。采用扩展图像边界外区域的方法之一来实现。扩展图像边界外区域的方法有：图像外像素设为常量值（如“黑色”或“灰色”）；边界像素延伸到图像边界外；图像在四个边界处镜像；图像在水平和垂直方向周期性重复。

可选择以下几种扩展方式对图像进行扩展后处理边界：

A. 图像外像素设为常量值（如“黑色”或“灰色”）；

B. 边界像素延伸到图像边界外；

C. 图像在四个边界处镜像；

D. 图像在水平和垂直方向周期性重复。

37、验证冲激函数相对于线性滤波器的性质。创建一个中心有一个白色像素的黑色图像，并将此图像用作二维冲激。查看线性滤波器是否真的将滤波器矩阵 H 作为其冲激响应。

由于卷积具有交换性，可知

H∗δ=δ∗H=HH∗δ=δ∗H=H

所以当将冲激函数 $delta$ 作为输入函数应用于某个滤波器 $H$ 时，该滤波器操作的结果与滤波器 $H$ 本身相同。

可按要求创建中心有白色像素的黑色图像作为二维冲激，对其应用线性滤波器，若输出结果与滤波器矩阵 $H$ 相同，则验证了线性滤波器会将滤波器矩阵 $H$ 作为其冲激响应。

38、比较5×5、11×11、25×25和51×51像素大小的非可分离线性滤波器和x/y可分离滤波器所需的处理步骤数量。计算每种情况下因可分离性带来的速度提升。

对于非可分离的二维滤波器，每个图像像素所需处理步骤为滤波器边长的乘积；对于x/y可分离滤波器，每个图像像素所需处理步骤为两个一维滤波器长度之和。速度提升可通过非可分离滤波器所需步骤与可分离滤波器所需步骤的比值来计算。

例如：

对于5×5的滤波器，非可分离滤波器每个像素需5×5 = 25步，可分离滤波器需5 + 5 = 10步，速度提升为25÷10 = 2.5倍。

对于11×11的滤波器，非可分离滤波器每个像素需11×11 = 121步，可分离滤波器需11 + 11 = 22步，速度提升为121÷22 = 5.5倍。

对于25×25的滤波器，非可分离滤波器每个像素需25×25 = 625步，可分离滤波器需25 + 25 = 50步，速度提升为625÷50 = 12.5倍。

对于51×51的滤波器，非可分离滤波器每个像素需51×51 = 2601步，可分离滤波器需51 + 51 = 102步，速度提升为2601÷102 = 25.5倍。

39、编写你自己的 ImageJ 插件，实现一个具有可变滤波器宽度（半径 σ）的高斯平滑滤波器。该插件应动态创建所需的滤波器核，其大小在两个方向上至少为 5σ。利用高斯函数在 x/y 方向可分离的特性。

可按照以下步骤实现：

明确插件框架，在 ImageJ 中创建插件基本结构。

接收用户输入的可变滤波器宽度 σ。

根据 σ 动态创建大小至少为 5σ 的 1D 高斯滤波器核。

利用高斯函数 x/y 可分离特性，先在 x 方向应用 1D 滤波器，再在 y 方向应用。

对图像进行滤波处理并输出结果。

40、为灰度图像实现一个圆形（即圆盘形）中值滤波器。使滤波器的半径 r 可在 1 到 10 像素的范围内调整，使用 ImageJ 的 GenericDialog 类实现半径输入。使用二进制（0/1）圆盘形掩码来表示滤波器的支持区域 R，其最小尺寸为 (2r + 1)×(2r + 1)。为所选的滤波器半径 r 动态创建此掩码。

可按以下通用步骤进行实现：

使用 ImageJ 的

GenericDialog

类创建一个对话框，让用户输入半径 r，范围限制在 1 到 10 像素。

根据用户输入的半径 r，动态创建一个 (2r + 1)×(2r + 1) 的二进制圆盘形掩码。可以通过计算每个像素到中心的距离，若距离小于等于 r 则设为 1，否则设为 0。

遍历灰度图像的每个像素，以该像素为中心，根据掩码确定邻域像素。

提取邻域内掩码值为 1 的像素值，对这些值进行排序，取中值作为该像素的新值。

将处理后的像素值更新到图像中。

重复步骤 3 – 5，直到处理完图像的所有像素。

41、“抖动”滤波器是一种（相当奇特的）非均匀滤波器示例。对于每个图像位置，它会选择一个空间可变的滤波器核（大小为 2r + 1），其中包含一个随机放置的脉冲（1）；例如，当 r = 2 时，Hu,v = ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎣ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎦ 。核 Hu,v 中值为 1 的位置在 i, j ∈[−r, r] 范围内均匀分布；因此，该滤波器实际上是从周围 (2r + 1) × (2r + 1) 邻域中随机选取一个像素值。为 r = 3、5、10 实现此滤波器。这个滤波器是线性的还是非线性的？开发另一个使用高斯随机分布的版本。

“抖动”滤波器是非线性的，因为它随机选择邻域像素值，不满足线性滤波器加权求和的特性。开发使用高斯随机分布的版本时，可将核中值为 1 的位置按高斯分布随机放置，根据高斯分布概率公式计算每个位置出现脉冲的概率来确定脉冲位置。

42、将索贝尔（Sobel）边缘算子实现为一个ImageJ插件。该插件应生成两幅新图像，分别表示边缘幅度E(u, v)和边缘方向Φ(u, v)。想出一种合适的方法来显示局部边缘方向。

可按照以下步骤实现：

理解索贝尔边缘算子原理；

依据ImageJ插件开发规范编写代码，计算边缘幅度 $ E(u, v) $ 和边缘方向 $ Phi(u, v) $；

对于显示局部边缘方向，可采用将方向角度编码为颜色色调，用边缘强度控制颜色饱和度的方式。

43、实现基尔什算子，并仿照双向索贝尔算子的实现方式，比较这两种方法的边缘检测结果，尤其关注边缘方向估计。

可按以下步骤操作：

先依据基尔什算子的公式实现该算子，生成边缘幅度和边缘方向的新图像；

再实现双向索贝尔算子；

最后比较两种方法的边缘检测结果，特别是边缘方向估计的差异。

44、设计并实现一个具有超过八个（比如16个）不同方向滤波器的罗盘边缘算子。

可按照以下一般步骤进行：

设计滤波器

：设计16个不同方向的滤波器内核，确定每个滤波器的系数。

图像卷积

：将每个滤波器与图像进行卷积操作，得到16组卷积结果。

边缘强度计算

：根据卷积结果计算每个像素点的边缘强度。

边缘方向确定

：确定每个像素点的边缘方向。

实现代码

：使用编程语言（如Python结合OpenCV库）实现上述步骤。

45、如何通过包含针对偏差问题的措施来实现（或扩展）直线的霍夫变换？

通常解决霍夫变换偏差问题可考虑对累加器值进行归一化处理，比如用累加器值除以直线长度的估计值，以平衡长、短直线在累加器中的表现；

也可根据直线在图像中的位置进行加权调整，使不同位置的直线在累加器中有更公平的“投票权”。

46、手动计算以下图像 I 与结构元素 H1 和 H2 的膨胀和腐蚀结果：图像 I 为一个一维的由连续 16 个黑色像素点（用 • 表示）组成的图像；结构元素 H1 为一个一维的由连续 3 个黑色像素点（用 • 表示）组成的结构元素；结构元素 H2 为一个一维的由连续 5 个黑色像素点（用 • 表示）组成的结构元素。

需依据膨胀和腐蚀的定义手动计算：

膨胀

：将结构元素在图像上移动，若结构元素与图像的交集非空，则对应位置置为前景。

腐蚀

：结构元素完全包含在图像前景中时，对应位置才置为前景。

47、假设二值图像 I 包含一些不想要的前景斑点，其最大直径为 5 像素，需要在不损坏其余结构的情况下将这些斑点去除。设计一个合适的形态学处理流程，并在合适的测试图像上评估其性能。

可采用先进行腐蚀操作，再进行膨胀操作的开运算。选择合适的结构元素（如直径为 5 像素的圆形结构元素）进行腐蚀，去除小的前景斑点，然后用相同的结构元素进行膨胀，恢复剩余结构的形状。

在评估性能时，可使用包含不同大小和分布的前景斑点的测试图像，对比处理前后的图像，通过计算误检率、漏检率等指标来评估。

48、研究细化操作（可由某个图像处理工具中 BinaryMorphologyFilter 类的 thin() 方法实现）的结果在将图像旋转 90°以及水平或垂直镜像后是否保持不变。使用合适的测试图像来查看结果是否相同。

可通过编写代码使用合适的测试图像进行实验来确定细化操作结果在图像旋转 90° 以及水平或垂直镜像后是否保持不变。

49、定义一个从图像直方图估计图像中位数的过程。用得到的中位数对图像进行阈值处理，并验证前景和背景分区的大小大致相等。

可按以下步骤操作：

从图像直方图估计中位数：统计直方图中所有像素数量，按灰度值排序，若像素总数为奇数，取中间位置灰度值为中位数；若为偶数，取中间两个灰度值的平均值为中位数。

阈值处理：使用得到的中位数作为阈值，将图像划分为前景和背景。

验证分区大小：统计前景和背景的像素数量，若两者接近，则说明分区大小大致相等。