table {
border-collapse: collapse;
width: 100%;
margin-bottom: 1rem;
}
th, td {
border: 1px solid #ddd;
padding: 8px;
text-align: left;
}
th {
background-color: #f2f2f2;
}
tr:nth-child(even) {
background-color: #f9f9f9;
}
pre {
background-color: #f8f8f8;
padding: 15px;
border-radius: 4px;
overflow-x: auto;
}
21、给出一个定理（定理内容为：在一定条件下，牛顿优化法能在一次迭代后收敛到临界点）证明不适用的例子。（提示：Hessian矩阵的逆矩阵总是存在的吗？）
当Hessian矩阵 $ H_f(x_0) $ 不可逆时，该定理的证明不适用。例如，若 $ f(x) $ 为二次函数，但 Hessian 矩阵 $ A $ 的行列式为 0，此时 $ A $ 不可逆，牛顿优化法不一定能在一次迭代后收敛到临界点。
22、优化的牛顿法需要求海森矩阵的逆。考虑一个二元函数f(x, y)。就二阶偏导数（fxx、fyy、fxy和/或fyx）而言，海森矩阵在什么条件下不可逆？
海森矩阵不可逆的条件是其行列式为零。
对于二元函数 $ f(x, y) $，海森矩阵 $ H_f $ 为
[fxxfxy fyxfyy][fxxfxy fyxfyy]
其行列式 $ D = f_{xx} cdot f_{yy} – (f_{xy})^2 $。
当 $ D = 0 $ 时，海森矩阵不可逆。
23、对于任意一个图，哪种顶点着色方案会产生最多的紫色边？
这是一个尚未解决的“最大割”问题，已知该问题是 NP 难问题，目前没有确切答案。一种解决思路是为每个顶点引入决策变量，通过最大化一个 $ m $ 项函数来尝试解答。
24、a) 两个正数a和b的调和平均数定义为2ab/(a + b)。证明两个正数a和b的调和平均数小于或等于几何平均数，当且仅当a = b时等号成立。b) 两个正数a和b的均方根定义为√((a² + b²)/2)（这也被称为a和b的二次平均数）。证明两个正数a和b的均方根大于或等于算术平均数，当且仅当a = b时等号成立。c) 写出一个包含本题中提到的四种平均数的总结性陈述及必要条件。
a) 首先，两个正数 $ a $ 和 $ b $ 的几何平均数为 $ sqrt{ab} $，调和平均数为 $ frac{2ab}{a + b} $。要证明
2aba+b≤ab−−√2aba+b≤ab
因为 $ a, b $ 为正数，两边同时除以 $ sqrt{ab} $，得到
2ab−−√a+b≤12aba+b≤1
即
2ab−−√≤a+b2ab≤a+b
由算术-几何平均不等式（AGM）可知，对于正数 $ a, b $，
ab−−√≤a+b2ab≤a+b2
即
2ab−−√≤a+b2ab≤a+b
当且仅当 $ a = b $ 时等号成立，所以调和平均数小于或等于几何平均数，当且仅当 $ a = b $ 时等号成立。
b) 两个正数 $ a $ 和 $ b $ 的算术平均数为 $ frac{a + b}{2} $，均方根为 $ sqrt{frac{a^2 + b^2}{2}} $。要证明
a2+b22−−−−−−√≥a+b2a2+b22≥a+b2
两边同时平方，得到
a2+b22≥(a+b)24a2+b22≥(a+b)24
展开右边式子得
a2+b22≥a2+2ab+b24a2+b22≥a2+2ab+b24
两边同乘 4 得
2(a2+b2)≥a2+2ab+b22(a2+b2)≥a2+2ab+b2
移项化简得
a2−2ab+b2≥0a2−2ab+b2≥0
即
(a−b)2≥0(a−b)2≥0
当且仅当 $ a = b $ 时等号成立，所以均方根大于或等于算术平均数，当且仅当 $ a = b $ 时等号成立。
c) 对于两个正数 $ a $ 和 $ b $，调和平均数 $ H = frac{2ab}{a + b} $、几何平均数 $ G = sqrt{ab} $、算术平均数 $ A = frac{a + b}{2} $、均方根 $ Q = sqrt{frac{a^2 + b^2}{2}} $ 满足
H≤G≤A≤QH≤G≤A≤Q
当且仅当 $ a = b $ 时，四个平均数相等。
25、证明：如果一个集合S是锥集，那么S也是凸集。
设 $ S $ 是一个锥集。对于 $ S $ 中的任意元素集合 $ s_1, s_2, …, s_k $，以及任意满足
∑i=1kαi=1且αi≥0(i=1,2,…,k)∑i=1kαi=1且αi≥0(i=1,2,…,k)
的实数集合 $ alpha_1, alpha_2, …, alpha_k $，
因为 $ S $ 是锥集，对于任意非负实数 $ eta $ 和 $ S $ 中的元素 $ s $，有
βs∈Sβs∈S
对于
∑i=1kαisi∑i=1kαisi
由于 $ alpha_i geq 0 $，可将其看作是 $ S $ 中元素的锥组合。
又因为
∑i=1kαi=1∑i=1kαi=1
所以这个锥组合同时也是一个凸组合，且该凸组合的结果仍在 $ S $ 中。
因此，集合 $ S $ 也是凸集。
26、判断以下命题的正确性：a. 任意仿射集的交集是一个仿射集。b. 任意锥集的交集是一个锥集。c. 任意凸集的交集是一个凸集。
a、b、c表述均正确
27、设集合A = {1, 3, 5, 7, 9}，集合B = {2, 3, 5, 7}，求集合A与集合B的和集A + B。这里和集A + B定义为所有a + b（其中a属于A，b属于B）的元素组成的集合。
和集 $ A + B $ 是由所有 $ a + b $（其中 $ a in A $，$ b in B $）的元素组成的集合。计算可得：
当 $ a = 1 $，$ b $ 分别取 2、3、5、7 时，$ a + b $ 的值为 3、4、6、8；
当 $ a = 3 $，$ b $ 分别取 2、3、5、7 时，$ a + b $ 的值为 5、6、8、10；
当 $ a = 5 $，$ b $ 分别取 2、3、5、7 时，$ a + b $ 的值为 7、8、10、12；
当 $ a = 7 $，$ b $ 分别取 2、3、5、7 时，$ a + b $ 的值为 9、10、12、14；
当 $ a = 9 $，$ b $ 分别取 2、3、5、7 时，$ a + b $ 的值为 11、12、14、16。
去除重复元素后，
A+B=3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,16A+B=3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,16
28、设函数f(x)在凸多面体F上有最小值，F的极点集为P = {p1, p2, …, pn}，方向向量集为D = {d1, …, dk}。证明对于每个j = 1, 2, …, k，有f(dj) ≥ 0。
设函数 $ f(x) $ 在凸多面体 $ F $ 上有最小值，$ F $ 的极点集为
P=p1,p2,…,pnP=p1,p2,…,pn
方向向量集为
D=d1,…,dkD=d1,…,dk
要证明：对于每个 $ j = 1, 2, ldots, k $，有
f(dj)≥0f(dj)≥0
因为 $ f(x) $ 在 $ F $ 上有最小值，所以存在实数 $ m $，使得对于 $ F $ 中的所有 $ x $，有
f(x)≥mf(x)≥m
假设存在某个 $ t $（$ 1 leq t leq k $），使得
f(dt)<0f(dt)<0
根据有限基定理，
F=conv(P)+coni(D)F=conv(P)+coni(D)
这意味着函数 $ f(x) $ 在集合 $ F $ 上的值域为
f(F)=f(conv(P)+coni(D))f(F)=f(conv(P)+coni(D))
将其展开可得
f(F)=∑i=1nαif(pi)+∑j=1kβjf(dj)f(F)=∑i=1nαif(pi)+∑j=1kβjf(dj)
其中 $ alpha_i, eta_j geq 0 $ 且 $ sum_{i=1}^n alpha_i = 1 $
由于 $ f $ 是线性的，所以
f(F)=∑i=1nαif(pi)+∑j=1kβjf(dj)≥∑i=1nαim+∑j=1kβjf(dj)=m+∑j=1kβjf(dj)f(F)=∑i=1nαif(pi)+∑j=1kβjf(dj)≥∑i=1nαim+∑j=1kβjf(dj)=m+∑j=1kβjf(dj)
但因为 $ f(d_t) < 0 $ 且 $ eta_t > 0 $，会得到一个小于 $ m $ 的值，这与 $ m $ 是最小值矛盾。
因此，对于所有 $ j = 1, ldots, k $，必须有
f(dj)≥0f(dj)≥0
29、考虑由$f(x) = _x000c_rac{1}{2}x^⊤Qx + c^⊤x$定义的二次函数$f: R^n → R$，其中$Q$是对称正定矩阵。证明$f$是严格凸函数。
首先求 $ f $ 的二阶偏导数矩阵（Hessian矩阵）。
对 $ f(x) = frac{1}{2}x^ op Qx + c^ op x $ 求一阶偏导，根据矩阵求导法则可得
∇f(x)=Qx+c∇f(x)=Qx+c
再求二阶偏导：
Hf=∇2f(x)=QHf=∇2f(x)=Q
因为 $ Q $ 是对称正定矩阵，根据多元函数凸性的二阶条件定理：
若函数 $ f $ 在某开凸集 $ C $ 上有连续的二阶偏导数，且其 Hessian 矩阵 $ H_f $ 在 $ C $ 上是正定的，则 $ f $ 在 $ C $ 上是严格凸函数。
这里 $ f $ 的 Hessian 矩阵 $ H_f = Q $ 是正定的，所以 $ f $ 是严格凸函数。
30、将集合 {A, B, C, D, E} 划分为 4 个子集，使得对于所有子集 s1 和 s2，都有 |s1| ≠ |s2|，若可以请给出划分方式，若不可以请证明。
不能将集合 {A, B, C, D, E} 划分为 4 个子集，使得任意两个子集的元素个数都不相等。
因为若要 4 个子集元素个数都不同，至少需要 0 + 1 + 2 + 3 = 6 个元素，而给定集合只有 5 个元素。
31、单词“Optimization”的字母可以有多少种不同的排列方式？
单词“Optimization”共有12个字母，其中字母“i”出现3次，字母“o”出现2次。根据有重复元素的排列公式，排列方式共有：
12!3!×2!=399168006×2=3326400种12!3!×2!=399168006×2=3326400种
32、单词“Mathematics”的字母可以有多少种不同的排列方式？
单词“Mathematics”共有11个字母，其中：
字母“M”有2个
字母“A”有2个
字母“T”有2个
其余字母各1个
根据有不可区分对象的排列公式，排列方式有：
11!2!×2!×2!×1!×1!×1!×1!×1!×1!=4989600种11!2!×2!×2!×1!×1!×1!×1!×1!×1!=4989600种
33、不使用广义鸽巢原理来证明鸽巢原理。[提示：模仿广义鸽巢原理的证明。]
下面是给定的【文本内容】：
假设把 $ k + 1 $ 个或更多的物体放入 $ k $ 个盒子中，为了推出矛盾，假设每个盒子里最多只有1个物体。那么 $ k $ 个盒子里物体的总数最多为 $ k $ 个，这与有 $ k + 1 $ 个或更多物体相矛盾。所以，至少有一个盒子里有两个或更多的物体。
34、证明对于实数 m 和非零实数 n，有 ⌈m / n⌉ < m / n + 1。[提示：分两种情况：m / n 是整数和 m / n 不是整数。]
情况一：m / n 是整数
当 m / n 是整数时，根据向上取整函数的定义，⌈m / n⌉ = m / n。此时，m / n + 1 比 m / n 大 1，即 m / n < m / n + 1，也就是 ⌈m / n⌉ < m / n + 1。
情况二：m / n 不是整数
设 m / n = k + r，其中 k 是整数部分，r 是小数部分，且 0 < r < 1。根据向上取整函数的定义，⌈m / n⌉ = ⌈k + r⌉ = k + 1。而 m / n + 1 = k + r + 1。因为 0 < r < 1，所以 k + 1 < k + r + 1，即 ⌈m / n⌉ < m / n + 1。
结论
综合以上两种情况，对于实数 m 和非零实数 n，都有 ⌈m / n⌉ < m / n + 1。
35、法国作家皮埃尔·尼科尔写道，17世纪的巴黎有超过80万居民，而且（当时人们认为）没有人头上的头发超过20万根。假设这些数字是正确的，并且当时没有巴黎人完全秃顶，论证当时至少有两个巴黎人的头发数量相同。然后确定头发数量相同的巴黎人的最小数量。
首先，因为巴黎人头发数量范围是1到200000根，共200000种可能，而巴黎居民超过800000人。根据鸽巢原理，将超过800000个对象（居民）放入200000个盒子（头发数量的不同情况）中，必然至少有两个对象在同一个盒子里，即至少有两个巴黎人的头发数量相同。
然后，根据广义鸽巢原理，设N为居民数量（N > 800000），k为头发数量的不同情况（k = 200000），则
⌈Nk⌉>⌈800000200000⌉=⌈4⌉=4⌈Nk⌉>⌈800000200000⌉=⌈4⌉=4
所以头发数量相同的巴黎人的最小数量是5。
36、给定一个图G，通过将图G的问题建模为网络流上的线性规划问题，求出从顶点a到顶点f的距离。并在答案中给出一条最短的a – f路径。
可以按照以下步骤建立线性规划模型求解：
为图G中的每条边ij引入决策变量X
ij
；
加入非负约束X
ij
≥ 0；
引入流量约束：
– 对于源点a，入边变量之和减去出边变量之和等于 -1；
– 对于非源非汇顶点，入边变量之和减去出边变量之和等于0；
– 对于汇点f，入边变量之和减去出边变量之和等于1；
目标是最小化所有边的权重w
ij
与对应决策变量X
ij
乘积的和。
以示例中的图为例，线性规划模型为：
目标函数：
min 2X
ab
+ 3X
ac
+ 5X
bc
+ 1X
bd
+ 7X
be
+ 1X
ce
+ 1X
dc
+ 4X
de
+ 8X
df
+ 2X
ef
约束条件为：
– X
ab
– X
ac
= -1（顶点a的流量约束）
– X
ab
– X
bc
– X
bd
– X
be
= 0（顶点b的流量约束）
– X
ac
+ X
bc
+ X
dc
– X
ce
= 0（顶点c的流量约束）
– X
bd
– X
dc
– X
de
– X
df
= 0（顶点d的流量约束）
– X
be
+ X
ce
+ X
de
– X
ef
= 0（顶点e的流量约束）
– X
df
+ X
ef
= 1（顶点f的流量约束）
– X
ij
≥ 0
按照此方法对图G建立模型，求解该线性规划问题，得到的目标函数最小值即为从a到f的距离，根据决策变量的值确定最短的a – f路径。
37、杰克逊啤酒厂酿造三种优质啤酒：烈性黑啤酒、印度淡色艾尔啤酒和苦啤酒。该啤酒厂有三个酿造地点：匹兹堡、诺克斯维尔和孟菲斯。已知每个地点只能酿造一种啤酒，且内兰希望继续酿造这三种啤酒，内兰想以成本最低的方式分配生产。以下是在每个地点酿造每种啤酒的成本：烈性黑啤酒：匹兹堡 – 1.22，诺克斯维尔 – 1.13，孟菲斯 – 1.29；印度淡色艾尔啤酒：匹兹堡 – 0.95，诺克斯维尔 – 0.91，孟菲斯 – 0.99；苦啤酒：匹兹堡 – 0.88，诺克斯维尔 – 0.77，孟菲斯 – 0.92。绘制一个表示该问题的网络流图（务必明确说明顶点和边代表什么）。
可构建如下网络流图：有两组顶点，
第一组
为三个代表啤酒种类的顶点，分别是：
烈性黑啤酒
印度淡色艾尔啤酒
苦啤酒
第二组
为三个代表酿造地点的顶点，分别是：
匹兹堡
诺克斯维尔
孟菲斯
从每个啤酒种类顶点向每个酿造地点顶点都有一条有向边，边代表该啤酒可以在该地点酿造，边的权重为在该地点酿造该啤酒的成本。例如，从
烈性黑啤酒
顶点到
匹兹堡
顶点的边权重为
1.22
。
38、杰克逊酿酒厂生产三种啤酒：烈性黑啤酒、印度淡色艾尔啤酒和苦啤酒。该酒厂有三个酿造地点：匹兹堡、诺克斯维尔和孟菲斯。每个地点只能酿造一种啤酒，且内兰希望继续生产这三种啤酒，他想以成本最低的方式分配生产。各地点酿造每种啤酒的成本如下：烈性黑啤酒在匹兹堡酿造成本为 1.22，在诺克斯维尔酿造成本为 1.13，在孟菲斯酿造成本为 1.29；印度淡色艾尔啤酒在匹兹堡酿造成本为 0.95，在诺克斯维尔酿造成本为 0.91，在孟菲斯酿造成本为 0.99；苦啤酒在匹兹堡酿造成本为 0.88，在诺克斯维尔酿造成本为 0.77，在孟菲斯酿造成本为 0.92。对于这个问题，是否有必要要求决策变量为整数？为什么？
有必要。因为每个地点只能酿造一种啤酒，啤酒的种类分配是离散的，只能取整数值（如 0 或 1，表示不生产或生产），非整数的决策变量不符合实际生产分配情况。
39、Rumpler Kayaks公司在明尼阿波利斯、匹兹堡和图森三个地点生产皮划艇，在亚特兰大、波士顿、芝加哥和丹佛有仓库。已知从明尼阿波利斯到亚特兰大、波士顿、芝加哥和丹佛每艘皮划艇的运输成本分别为6、5.6、2.2、4；从匹兹堡到亚特兰大、波士顿、芝加哥和丹佛每艘皮划艇的运输成本分别为3.6、3、2.8、5.8；从图森到亚特兰大、波士顿、芝加哥和丹佛每艘皮划艇的运输成本分别为6.5、6.8、5.5、4.2。明尼阿波利斯的产能为10000艘，匹兹堡的产能为15000艘，图森的产能为15000艘。亚特兰大的需求数量为8000艘，波士顿的需求数量为10000艘，芝加哥的需求数量为12000艘，丹佛的需求数量为9000艘。该公司希望以最低成本满足仓库需求。请列出此情况的线性规划问题。
设 $ (x_{ij}) $ 表示从工厂 $ i $ 运往仓库 $ j $ 的皮划艇数量，其中：
$ i = 1,2,3 $ 分别代表明尼阿波利斯、匹兹堡和图森；
$ j = 1,2,3,4 $ 分别代表亚特兰大、波士顿、芝加哥和丹佛。
目标函数
minZ=6×11+3.6×21+6.5×31+5.6×12+3×22+6.8×32+2.2×13+2.8×23+5.5×33+4×14+5.8×24+4.2x34minZ=6×11+3.6×21+6.5×31+5.6×12+3×22+6.8×32+2.2×13+2.8×23+5.5×33+4×14+5.8×24+4.2×34
约束条件
工厂产能约束
x11+x12+x13+x14≤10000 x21+x22+x23+x24≤15000 x31+x32+x33+x34≤15000×11+x12+x13+x14≤10000 x21+x22+x23+x24≤15000 x31+x32+x33+x34≤15000
仓库需求约束
x11+x21+x31=8000 x12+x22+x32=10000 x13+x23+x33=12000 x14+x24+x34=9000×11+x21+x31=8000 x12+x22+x32=10000 x13+x23+x33=12000 x14+x24+x34=9000
非负约束
xij≥0(i=1,2,3;j=1,2,3,4)xij≥0(i=1,2,3;j=1,2,3,4)
40、Rumpler Kayaks公司在明尼阿波利斯、匹兹堡和图森三个地点生产优质皮划艇，同时在亚特兰大、波士顿、芝加哥和丹佛设有仓库。已知从明尼阿波利斯运输皮划艇到亚特兰大、波士顿、芝加哥、丹佛每艘的成本分别为6.00、5.60、2.20、4.00；从匹兹堡运输皮划艇到亚特兰大、波士顿、芝加哥、丹佛每艘的成本分别为3.60、3.00、2.80、5.80；从图森运输皮划艇到亚特兰大、波士顿、芝加哥、丹佛每艘的成本分别为6.50、6.80、5.50、4.20。亚特兰大、波士顿、芝加哥、丹佛的皮划艇需求数量分别为8000、10000、12000、9000。明尼阿波利斯、匹兹堡、图森的产能分别为10000、15000、15000。该公司希望以最低成本满足仓库的需求。对于这个问题，是否有必要要求决策变量为整数？为什么？
有必要要求决策变量为整数。因为皮划艇的数量是离散的，只能是整数，不能是小数或分数，所以决策变量应取整数值。
41、如果 A 是 B 的子集且 P(B) 大于 0，那么 P(A|B) 是多少？
由于 A 是 B 的子集，所以 A 与 B 的交集就是 A，即
A∩B=AA∩B=A
根据条件概率公式
P(A|B)=P(A∩B)P(B)P(A|B)=P(A∩B)P(B)
将 $ A ∩ B = A $ 代入可得
P(A|B)=P(A)P(B)P(A|B)=P(A)P(B)
42、证明当E(X) = µ且Var(X) = σ²时，E[X(X – 1)] = µ(µ – 1) + σ²。
本题可根据期望和方差的性质来证明。
首先，对 $ E[X(X – 1)] $ 进行展开：
E[X(X−1)]=E(X2−X)E[X(X−1)]=E(X2−X)
根据期望的线性性质 $ E(aY + bZ) = aE(Y) + bE(Z) $（其中 $ a, b $ 为常数，$ Y, Z $ 为随机变量），可得：
E(X2−X)=E(X2)−E(X)E(X2−X)=E(X2)−E(X)
然后，回顾方差的定义：
Var(X)=E[(X−E(X))2]Var(X)=E[(X−E(X))2]
将其展开可得：
Var(X)=E(X2−2XE(X)+E(X)2)Var(X)=E(X2−2XE(X)+E(X)2)
再根据期望的线性性质：
Var(X)=E(X2)−2E(X)E(X)+E(X)2=E(X2)−E(X)2Var(X)=E(X2)−2E(X)E(X)+E(X)2=E(X2)−E(X)2
移项可得：
E(X2)=Var(X)+E(X)2E(X2)=Var(X)+E(X)2
最后，将 $ E(X^2) = ext{Var}(X) + E(X)^2 $ 代入 $ E(X^2) – E(X) $ 中：
已知 $ E(X) = mu $，$ ext{Var}(X) = sigma^2 $，则：
E(X2)−E(X)=σ2+μ2−μ=μ(μ−1)+σ2E(X2)−E(X)=σ2+μ2−μ=μ(μ−1)+σ2
综上，证明了：
E[X(X−1)]=μ(μ−1)+σ2E[X(X−1)]=μ(μ−1)+σ2
43、添加最少数量的额外点，使这个特定的数据集变得线性不可分。证明你的代码会持续循环且无法达到收敛（测量每次迭代中w的变化就足够了，并绘制图表以表明它永远不会收敛到零）。
由于没有提供数据集和相关代码，无法直接完成任务。
一般步骤为：
先分析数据集分布，找到能破坏线性可分性的最少额外点添加；
编写代码实现迭代更新
w
；
在每次迭代中记录
w
的变化；
若经过足够多迭代后
w
的变化始终不趋近于零，可认为不收敛；
最后绘制
w
变化图展示结果。
44、使用数据集 D = ([(1, 1), +1], [(2, -2), -1], [(-1, -1.5), -1], [(-2, -1), -1], [(-2, 1), +1], [(1.5, -0.5), +1])，使用支持向量机（SVM）来解决这个问题。编写一段代码，找到一个能线性分离上述数据的支持向量机。绘制这个支持向量机及其（硬）边界。建议使用 Python 或 Matlab 等语言中现有的支持向量机包来解决这个问题。
以下是使用 Python 的
scikit-learn
库解决该问题的示例代码：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import svm
# 定义数据集
X = np.array([[1, 1], [2, -2], [-1, -1.5], [-2, -1], [-2, 1], [1.5, -0.5]])
y = np.array([1, -1, -1, -1, 1, 1])
# 创建并训练 SVM 模型
clf = svm.SVC(kernel='linear')
clf.fit(X, y)
# 绘制数据点
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, s=30, cmap=plt.cm.Paired)
# 绘制决策边界
ax = plt.gca()
xlim = ax.get_xlim()
ylim = ax.get_ylim()
# 创建网格点
xx = np.linspace(xlim[0], xlim[1], 30)
yy = np.linspace(ylim[0], ylim[1], 30)
YY, XX = np.meshgrid(yy, xx)
xy = np.vstack([XX.ravel(), YY.ravel()]).T
Z = clf.decision_function(xy).reshape(XX.shape)
# 绘制决策边界和间隔边界
ax.contour(XX, YY, Z, colors='k', levels=[-1, 0, 1], alpha=0.5, linestyles=['--', '-', '--'])
# 绘制支持向量
ax.scatter(clf.support_vectors_[:, 0], clf.support_vectors_[:, 1], s=100, linewidth=1, facecolors='none', edgecolors='k')
plt.show()
这段代码首先导入必要的库，然后定义数据集。接着创建一个线性核的 SVM 模型并进行训练。之后绘制数据点、决策边界、间隔边界以及支持向量。运行代码后，会弹出一个窗口显示绘制的图形。
45、证明：如果n是奇数，那么n²是奇数。
假设 $ n $ 是奇数，则存在某个整数 $ k $，使得 $ n = 2k + 1 $。
那么
$$
n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1
$$
因为 $ 2k^2 + 2k $ 是整数，所以 $ n^2 $ 是 $ 2 $ 乘以一个整数再加 1 的形式，满足奇数的定义，即 $ n^2 $ 是奇数。
46、证明若(n^2)是偶数，则(n)一定是偶数。
可以通过证明其逆否命题来证明该命题。其逆否命题为“若(n)是奇数，则(n²)是奇数”。
假设(n)是奇数，那么存在整数(k)，使得(n = 2k + 1)。
所以
n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1
因为(2k² + 2k)是整数，所以(n²)是奇数。
由于逆否命题为真，所以原命题“若(n²)是偶数，则(n)一定是偶数”也为真。
47、证明：如果(n^2 + 4)是奇数，那么(n)是奇数。
我们可以通过证明其逆否命题来证明原命题。逆否命题为：如果 $ n $ 是偶数，那么 $ n^2 + 4 $ 是偶数。
若 $ n $ 是偶数，则可设 $ n = 2k $（$ k $ 为整数）。
那么
n2+4=(2k)2+4=4k2+4=2(2k2+2)n2+4=(2k)2+4=4k2+4=2(2k2+2)
显然 $ 2(2k^2 + 2) $ 是偶数。
由于逆否命题为真，所以原命题“如果 $ n^2 + 4 $ 是奇数，那么 $ n $ 是奇数”也为真。
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