三角函数自学（一）

学习三角函数后，能更好地理解物理中的波动、工程中的角度计算，甚至为高等数学（如微积分中的导数、积分，以及复数中的欧拉公式。

只要掌握了基本的代数、几何（如直角三角形、勾股定理）和函数概念，这就足够了。从最基础的直角三角形开始，逐步深入到三角函数的定义、公式推导和应用。

第1部分

1.1 三角函数的起源和基本概念

三角函数(Trigonometric Functions）起源于古希腊和印度，用于测量土地和天文观测。简单来说，三角函数是描述角度与边长关系的数学工具。最开始，它们定义在直角三角形中。

想象一个直角三角形：有一个直角（90°），另外两个锐角（小于90°）。我们关注其中一个锐角θ（读作“theta”）。三角形的边有：

对边（opposite）：与θ相对的边。

邻边（adjacent）：与θ相邻的非斜边。

斜边（hypotenuse）：最长的边，对着直角。

三角函数就是这些边的比率。例如：

正弦（sine，缩写sin）：sin θ = 对边 / 斜边

余弦（cosine，缩写cos）：cos θ = 邻边 / 斜边

正切（tangent，缩写tan）：tan θ = 对边 / 邻边

还有三个倒数函数：

余割（cosecant，csc）：csc θ = 1 / sin θ = 斜边 / 对边

正割（secant，sec）：sec θ = 1 / cos θ = 斜边 / 邻边

余切（cotangent，cot）：cot θ = 1 / tan θ = 邻边 / 对边

这些函数的值不取决于三角形的大小，只取决于角度θ。这就是为什么它们强劲——无论三角形多大，一样角度的比率一样。

例子：在一个直角三角形中，对边=3，邻边=4，斜边=5（由勾股定理3²+4²=5²）。如果θ是对边3的角，则sin θ = 3/5 = 0.6，cos θ = 4/5 = 0.8，tan θ = 3/4 = 0.75。

1.2 从直角三角形到单位圆

为了处理任意角度（包括钝角或负角），我们引入单位圆：一个半径为1的圆，中心在坐标原点。角度θ从x轴正方向开始，顺时针或逆时针旋转。

对于角度θ，终边与单位圆交点坐标为(x, y)。

cos θ = x（横坐标）

sin θ = y（纵坐标）

tan θ = y / x

这扩展了定义：即使θ>90°，sin和cos也能定义（可能为负值）。

简单练习题：

在一个直角三角形中，对边=5，斜边=13。求sin θ、cos θ、tan θ。

如果cos θ = 0.5，求sin θ（假设θ是锐角）。

画一个单位圆，标记θ=30°的点，估算sin 30°和cos 30°。

答案：1. sin θ=5/13, cos θ=12/13（由勾股定理求邻边=12）, tan θ=5/12。

2. sin θ=√(1-0.5²)=√0.75≈0.866。

3.sin30°=0.5, cos 30°≈0.866。）