初中圆形核心考点梳理

一、基础概念与性质（必考，选择、填空）

1. 对称性

· 考点：识别圆的对称轴（无数条，任何直径所在直线）。

· 题型：判断轴对称图形个数。

2. 垂径定理及其推论

· 考点：在由半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形中，已知任意两个量，求第三个量。

· 关键：见弦，常作弦心距，连接半径，构造直角三角形用勾股定理计算。

· 经典模型：若圆心为O，弦AB的中点为M，则存在关系 OA² = AM² + OM²，即 半径的平方 = (半弦长)的平方 + 弦心距的平方。

3. 弧、弦、圆心角关系

· 考点：在同圆或等圆中，已知一组量（弧、弦、圆心角）相等，推导其他两组量相等。

· 题型：证明题。

4. 圆周角定理及其推论

· 考点：

· 求角度：利用“同弧或等弧所对的圆周角相等”进行角度转换。

· 证直角：见到直径，立刻想到它所对的圆周角是90°。

· 证等角：在复杂图形中，寻找共用同一段弧的圆周角。

· 核心关系：圆心角 = 2 × 圆周角。

二、与位置关系相关的考点（核心，解答题压轴）

这是初中圆最灵活、最容易出压轴题的部分。

1. 切线的性质与判定

· 判定定理（如何证切线）：

· 方法一（连半径，证垂直）：如果已知直线与圆有公共点，那么连接这个公共点和圆心，证明这条半径与直线垂直。这是最常用的方法。

· 方法二（作垂直，证半径）：如果不知道直线与圆是否有公共点，那么过圆心作直线的垂线段，证明这条垂线段的长度等于半径。

· 性质定理（已知切线有什么用）：切线 垂直于 过切点的半径。

· 题型：综合题的第一问常考切线证明，第二问利用切线性质进行后续计算。

2. 切线长定理

· 内容：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。

· 考点：求线段长度或证明线段、角相等（常与全等三角形结合）。

3. 三角形的“心”与圆

· 内切圆（内心）：

· 定义：与三角形三边都相切的圆。圆心是三条角平分线的交点。

· 考点：求内切圆半径。常用面积法：三角形面积 = 二分之一 × 三角形周长 × 内切圆半径。

· 外接圆（外心）：

· 定义：过三角形三个顶点的圆。圆心是三边垂直平分线的交点。

· 考点：求外接圆半径。在直角三角形中，外接圆半径 = 斜边的一半。

三、计算类考点（必考，选择、填空）

1. 弧长与扇形面积

· 弧长公式：弧长 = (圆心角度数n / 360°) × 2 × π × 半径

· 扇形面积公式：

· 公式一：面积 = (圆心角度数n / 360°) × π × 半径²

· 公式二：面积 = 二分之一 × 弧长 × 半径 (此公式更推荐，类似于三角形面积)

· 考点：直接套用公式计算。

2. 圆锥的侧面展开图

· 核心关系：圆锥的底面周长 = 侧面展开图（扇形）的弧长。

· 公式：2 × π × 底面半径 = (扇形圆心角度数n × π × 母线长) / 180

· 考点：已知圆锥的高、底面半径、母线长中的两个，求第三个；或求侧面展开图的圆心角。

备考策略与易错点提醒

· 必作辅助线：

· 见切线，连切点与圆心（得垂直）。

· 见直径，连直径所对的圆周角（得直角）。

· 见弦，作弦心距（连半径，用勾股定理）。

· 多解问题：一条弦所对的圆周角有两个（在弦的两侧），是一对互补的角，做题时务必思考周全。

· 综合题思路：第一问一般是证明切线；第二问一般是求长度或角度，需要综合运用切线性质、勾股定理、三角函数或类似三角形等知识。