一、核心前提：多元函数的定义域（凸集）

与一元函数不同，多元函数的自变量是 n 维向量 ，其凸函数定义需先明确凸集的概念（高维场景下的 “区间” 推广）。

设集合 ，若对任意两个向量 ，都有：

则称 D 为 上的凸集。

几何意义：凸聚焦任意两点的 “连线”（所有凸组合）仍在集合内，例如 中的圆盘、三角形是凸集，圆环、五角星不是凸集。

二、多元凸函数与严格凸函数的定义

所有定义均基于 “定义域为凸集” 这一前提，核心是向量凸组合的函数值不等式。

1. 多元凸函数（Convex Function）

设函数 ，其中 是凸集。若对任意 和任意 ，满足：

则称 f 为 D 上的凸函数。

2. 多元严格凸函数（Strictly Convex Function）

设函数 ，其中 是凸集。若对任意 （，向量分量不完全相等）和任意 ，满足：<span data-content="{"url":"https://image-tt-private.toutiao.com/tos-cn-i-6w9my0ksvp/2fbe00a2f4a844d4ab20d8b97fba9414~tplv-obj.image?_iz=115383&c=811c9dc5&from=image_upload&lk3s=72284de7&policy=eyJ2bSI6MywidWlkIjoiMTkyNjc2NDQ3MTAwNzMxNSJ9&x-orig-authkey=5a21e4afda5945d9a206a695e4c78a63&x-orig-expires=2392522012&x-orig-sign=u9UDYyvNk0GqBjhxldpSFrAdS1k%3D","uri":"tos-cn-i-6w9my0ksvp/2fbe00a2f4a844d4ab20d8b97fba9414","width":370,"height":29,"darkImgUrl":"https://image-tt-private.toutiao.com/tos-cn-i-6w9my0ksvp/47b8ebd707e745cd8ed82b34522ec471~tplv-obj.image?_iz=115383&c=811c9dc5&from=image_upload&lk3s=72284de7&policy=eyJ2bSI6MywidWlkIjoiMTkyNjc2NDQ3MTAwNzMxNSJ9&x-orig-authkey=5a21e4afda5945d9a206a695e4c78a63&x-orig-expires=2392522029&x-orig-sign=2wmzTasEpvU1QY7eQlQMpBfVgfM%3D","darkImgUri":"tos-cn-i-6w9my0ksvp/47b8ebd707e745cd8ed82b34522ec471","formulaImgStatus":"succeed"}" data-formula="fleft( lambda oldsymbol{x} + (1-lambda)oldsymbol{y}
ight)

则称 f 为 D 上的严格凸函数。

三、多元凸函数的核心性质（含严格凸对比）

多元凸函数的性质依赖梯度（一阶导数推广） 和Hessian 矩阵（二阶导数推广），需先明确这两个工具的定义：

• 梯度：，是 n 维列向量。
• Hessian 矩阵：，是 n x n 对称矩阵（若二阶偏导连续）。

四、关键性质的证明（以二阶条件为例）

选取最核心的 “二阶条件（Hessian 半正定是凸函数的充要条件）” 证明，其他性质可基于此推导。

命题

设是开凸集，且 f 二阶可微，

则：f 是凸函数 是半正定矩阵。

证明过程

1. 必要性（：凸函数Hessian 半正定）

思路：将多元问题 “一元化”—— 固定任意方向 ，利用一元凸函数的二阶导数非负推导。

• 任取 和任意非零向量 （若 d=0，半正定显然成立）。
• 因 D 是开集， 0，使得当 t in (-delta, delta) 时，oldsymbol{x} + toldsymbol{d} in D”>。
• 构造一元函数 ，则 g(t) 是 上的凸函数（因 f 是凸函数，凸组合的函数值不等式对 g(t) 仍成立）。
• 对 g(t) 求二阶导数：
• 一阶导数：（链式法则，梯度与方向向量的内积）；
• 二阶导数：（再次求导，Hessian 矩阵的二次型）。
• 由一元凸函数的充要条件，立。令 t = 0，得：
• 因 是任意向量，故是半正定矩阵。

2. 充分性（：Hessian 半正定凸函数）

思路：利用多元函数的二阶泰勒展开，结合半正定矩阵的二次型非负，推导凸组合的不等式。

• 任取 ，因 D 是凸集，对任意 。
• 对 和 在 处做二阶泰勒展开（余项为拉格朗日型）：
• 存在 （在 之间），

使得：

• 同理，存在 （在 之间），
• 使得：
• 因 和 均为半正定矩阵，故泰勒展开中的二次项非负：

,

• 因此：,
• 将两式分别乘以 后相加：

• 注意到 （因 ），故右边简化为 。
• 最终得：
• 即 f 是凸函数。