泰勒公式和拉格朗日反演公式

一.泰勒公式

泰勒公式是将一个光滑函数在某一点附近展开为幂级数（多项式级数）的工具。它基于函数在该点的各阶导数值。

设函数 f(x)在点 a 处具有 n+1 阶导数，则对于 x在 a 附近，有：

其中 Rn(x) 是余项（误差项），常用形式有：

拉格朗日余项：

皮亚诺余项:

收敛性：级数收敛半径为 ∣x−a∣<R，其中 R 由函数的奇点决定（如通过比值判别法）。

特例：麦克劳林级数（Maclaurin Series）
当 a=0 时，泰勒公式简化为：

二.拉格朗日反演公式（Lagrange Inversion Theorem）

核心思想：当直接求反函数困难时，通过原函数的导数构造反函数的泰勒展开。
适用条件：

y=f(x) 在 x=a解析（或无穷可微），且 f(a)=b。

关键要求：f′(a)≠0（保证局部可逆）。

公式形式：反函数 x=g(y)在 y=b处的展开为

推广形式（含复合函数）：若 h(x)解析，则

提示：拉格朗日反演公式是组合数学中生成函数的基石.

典型示例：

求 y=xe^x的反函数（朗伯W函数）

a=0,b=0,f′(0)=1≠0。

泰勒公式 vs. 拉格朗日反演公式

泰勒公式的本质：
通过导数信息重构函数局部行为，余项控制误差。
局限性：收敛半径受限（如 1/(1+x²)在 ∣x∣<1收敛，但实轴上无奇点；复变中奇点在 x=±i）。

拉格朗日反演的本质：
利用复分析留数定理证明，系数 gn 本质是柯西积分公式中的留数。
几何解释：当 f′(a)≠0 时，曲线 y=f(x)在 (a,b) 处局部单调，反函数存在且光滑。

联合应用场景：

求解方程 z=f^−1(w)：
先用拉格朗日反演得 z 关于 w 的级数，再用泰勒展开复合函数。

微分方程：如 y′=F(x,y) 的级数解，结合两种展开技巧。