数域P上方阵A的最小多项式是 “以A为根的首一、次数最低的多项式”，其核心性质围绕 “最小性”“整除性”“与矩阵结构的关联” 展开。以下是主要性质及严格证明：

性质 1：最小多项式的唯一性与存在性

内容：数域P上的任意方阵A都存在唯一的最小多项式。

证明：

• 存在性：由哈密顿 – 凯莱定理，特征多项式是化零多项式（f(A) = 0），故化零多项式非空。在所有化零多项式中，取次数最低的非零多项式，调整首项系数为 1（数域中逆元存在），即得最小多项式。
• 唯一性：若都是最小多项式，则是次数更低的化零多项式（或零多项式）。由次数最低性，。

性质 2：最小多项式整除所有化零多项式（核心性质）

内容：设g(x)是A的最小多项式，则对任意多项式，。

证明：

• 充分性：若，则（），故。
• 必要性：若，对f(x), g(x)作带余除法：f(x) = g(x)q(x) + r(x)（r(x) = 0或deg r < deg g）。代入A得。若，则与g(x)次数最低矛盾，故。

性质 3：最小多项式整除特征多项式

内容：设f(x)是A的特征多项式，g(x)是最小多项式，则。

证明：

由哈密顿 – 凯莱定理，f(A) = 0（特征多项式是化零多项式）。根据性质 2，最小多项式整除所有化零多项式，故。

性质 4：类似矩阵的最小多项式一样

内容：若（即存在可逆矩阵P使得），则A与B的最小多项式一样。

证明：

对任意多项式，由矩阵多项式的运算性质：

因此，即A与B的化零多项式集合完全一样。由于最小多项式是化零多项式中次数最低的首一多项式，故两者的最小多项式必一样。

性质 5：最小多项式的根与特征值一致（代数闭域上）

内容：设P是代数闭域（如复数域），则是A的特征值是最小多项式的根。

证明：

• 必要性：若是特征值，则存在非零向量使得。对任意多项式。因g(A) = 0，故。又，故，即是g(x)的根。
• 充分性：若，由性质 3，（特征多项式），故。因P是代数闭域，特征多项式的根都是特征值，故是A的特征值。

性质 6：分块对角矩阵的最小多项式是各块最小多项式的最小公倍式

内容：设是分块对角矩阵，是的最小多项式，则A的最小多项式是（最小公倍式）。

证明：

设，需证g(x)是A的最小多项式。

1. 化零性：因，故（性质 2），因此，即g(x)是化零多项式。
2. 次数最低性：设h(x)是A的化零多项式，则，故（性质 2）。因是最小公倍式，故，因此，即g(x)次数最低。

性质 7：对角矩阵的最小多项式

内容：若A是对角矩阵，其中是互不一样的特征值，则A的最小多项式为。

证明：

设，则：

• ，故g(x)是化零多项式。
• 任取次数更低的非零多项式h(x)，必存在某个使得（否则h(x)含所有因子，次数≥m），故。因此g(x)是次数最低的化零多项式，即最小多项式。

总结

最小多项式的核心性质源于其 “最小性” 和 “整除性”，它与矩阵的特征多项式、类似变换、分块结构紧密关联，是刻画矩阵代数性质的重大工具（例如判断矩阵可对角化：矩阵可对角化当且仅当其最小多项式无重根）。