曲线 y = ln x 与直线 x + y = 1 垂直的切线方程探讨

曲线 y = ln x 与直线 x + y = 1 垂直的切线方程探讨

在这篇文章中，我们将详细探讨曲线 y = ln x 上与直线 x + y = 1 垂直的切线方程。通过严谨的数学推理，我们逐步分析问题，确定最终答案。

1. 明确问题的数学描述

曲线的方程为 y = ln x。直线的方程为 x + y = 1，我们可以通过整理得到其斜率为 m = -1。

切线与直线垂直的条件是两条直线的斜率乘积为 -1。因此，曲线在某点的切线斜率应为 1，由于 1 imes (-1) = -1。

2. 求曲线的切线斜率

曲线 y = ln x 的导数为：

frac{dy}{dx} = frac{1}{x}。

根据题意，切线的斜率需为 1，因此：

frac{1}{x} = 1。

解得：

x = 1。

3. 确定切点坐标

将 x = 1 代入曲线方程 y = ln x，得到：

y = ln 1 = 0。

因此，切点为 (1, 0)。

4. 切线的方程

切线的方程可表明为：

y - y_1 = m(x - x_1)，

其中，(x_1, y_1) 是切点，m 是切线的斜率。

在此问题中，(x_1, y_1) = (1, 0) 且 m = 1，代入得：

y - 0 = 1(x - 1)。

化简后为：

y = x - 1。

5. 验证切线与直线垂直

直线 x + y = 1 的斜率为 -1，而切线 y = x - 1 的斜率为 1。两者的斜率乘积为：

1 	imes (-1) = -1，

满足垂直条件。因此，切线方程正确。

6. 总结与延伸

通过严谨的推导，我们得出曲线 y = ln x 上与直线 x + y = 1 垂直的切线方程为：

y = x - 1。

这一问题的核心在于理解斜率的几何意义，以及正确运用导数和直线方程的基本性质。对于类似问题，可以采用类似方法：

1. 确定目标几何关系（如垂直或平行）。
2. 利用导数求出曲线切线的斜率。
3. 联立方程求解切点和切线方程。

这一探讨展示了数学在几何问题中的优雅应用，也为进一步学习曲线与直线的关系奠定了基础。