泰勒展开式在习题中的应用

泰勒展开式作为高等数学中的“万能工具”，常常让许多同学觉得“抽象难懂、用不上手”，但实际上，它在极限计算、不等式证明、导数应用等高频习题中有着“化繁为简”的神奇效果。掌握泰勒展开式的核心应用技巧，能让你在面对复杂习题时快速破题，效率翻倍！

一、泰勒展开式核心公式（必背基础）

泰勒展开式的本质是“用多项式逼近复杂函数”，在习题中最常用的是 麦克劳林展开式（泰勒展开式在x=0处的特殊形式），记住以下5个高频函数的展开式，就能应对80%的习题：

1. eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! +… + xⁿ/n! + o(xⁿ)

2. ln(1+x) = x – x²/2 + x³/3 – x⁴/4 +… + (-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n + o(xⁿ)（x∈(-1,1]）

3. sinx = x – x³/3! + x⁵/5! -… + (-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)! + o(x²ⁿ⁺¹)

4. cosx = 1 – x²/2! + x⁴/4! -… + (-1)ⁿx²ⁿ/(2n)! + o(x²ⁿ)

5. (1+x)ᵃ = 1 + ax + a(a-1)x²/2! +… + a(a-1)…(a-n+1)xⁿ/n! + o(xⁿ)（a为实数）

关键原则：展开到“与分母同阶”或“消去低阶项”即可，无需展开过多项，避免计算繁琐。

二、泰勒展开式3大高频习题应用场景

场景1：极限计算（秒杀复杂0/0型、∞/∞型极限）

当遇到含eˣ、ln(1+x)、sinx等函数的极限，尤其是“等价无穷小替换失效”的情况，泰勒展开式能精准破解。

例题：求极限 lim(x→0) [eˣ – (1 + x + x²/2)] / x³

常规方法：洛必达法则（需求导3次，步骤繁琐）

泰勒展开法（秒解）：

1. 由eˣ的麦克劳林展开式，展开到x³项：eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + o(x³)

2. 代入分子：eˣ – (1 + x + x²/2) = (1 + x + x²/2 + x³/6 + o(x³)) – (1 + x + x²/2) = x³/6 + o(x³)

3. 计算极限：lim(x→0) [x³/6 + o(x³)] / x³ = 1/6

优势：跳过多次求导，1分钟出结果，避免求导失误。

场景2：不等式证明（轻松处理含高阶导数的不等式）

当题目给出“函数高阶导数有界”或“需证明函数与多项式的大小关系”时，泰勒展开式结合拉格朗日余项，能快速建立不等式。

例题：证明当x>0时，ln(1+x) < x – x²/2 + x³/3

泰勒展开法（秒解）：

1. 对ln(1+x)在x=0处展开，取拉格朗日余项（展开到x³项）：

ln(1+x) = x – x²/2 + x³/3 – x⁴/(4(1+ξ)⁴)（其中0<ξ<x）

2. 分析余项：x>0时，-x⁴/(4(1+ξ)⁴) < 0（余项为负）

3. 整理得：ln(1+x) = [x – x²/2 + x³/3] + （负数） < x – x²/2 + x³/3，不等式得证。

优势：直接关联函数与多项式，无需构造复杂辅助函数。

场景3：导数应用（求函数的高阶导数、近似计算）

泰勒展开式可快速求函数在某点的高阶导数值，还能用于近似计算，是导数应用题的“捷径”。

例题1：求高阶导数：求f(x)=eˣ在x=0处的5阶导数f⁽⁵⁾(0)

泰勒展开法：

由eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + x⁵/5! + o(x⁵)，根据泰勒展开式系数与高阶导数的关系：

f⁽ⁿ⁾(0)/n! = 展开式中xⁿ的系数，故f⁽⁵⁾(0)/5! = 1/5! → f⁽⁵⁾(0) = 1。

例题2：近似计算：近似计算sin1°（准确到10⁻⁵）

泰勒展开法：

1. 转化为弧度：1° = π/180 ≈ 0.0174533弧度

2. sinx ≈ x – x³/3!（x很小时，高阶项可忽略）

3. 代入计算：sin(π/180) ≈ 0.0174533 – (0.0174533)³/6 ≈ 0.0174524，误差小于10⁻⁵。

三、泰勒展开式应用核心技巧（避坑指南）

1. “同阶原则”：极限计算中，分子分母展开到“同阶无穷小”即可，列如分母是x³，分子展开到x³项，高阶无穷小o(x³)可直接忽略；

2. “余项选择”：证明不等式用“拉格朗日余项”（带具体误差项），极限计算用“佩亚诺余项”（o(xⁿ)，简洁方便）；

3. “优先展开高频函数”：遇到eˣ、ln(1+x)、sinx、cosx，优先用泰勒展开，比洛必达、等价替换更高效。

总结：泰勒展开式——习题中的“破题神器”

泰勒展开式看似抽象，实则是解决复杂高数习题的“捷径”：极限计算中秒杀“洛必达多次求导”，不等式证明中避开“构造辅助函数”，导数应用中快速求高阶导数。只要记住核心展开式，掌握“同阶展开、按需选余项”的技巧，就能轻松应对各类习题，让高数解题更高效、更精准！