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简介：地图学是地理信息系统（GIS）的重要组成部分，实验“地图投影变化”聚焦地图投影的基本原理、类型及其在ArcGIS中的实际应用。通过本实验，学生将掌握地图投影的数学转换机制、常见投影类型（如墨卡托、兰伯特、阿尔伯斯等）的特点与适用场景，并学习使用ArcGIS进行投影设置、转换与效果分析。实验还包含完整操作流程、结果对比与实验报告撰写，全面提升学生对地图投影的理解与GIS实践能力。
1. 地图投影的基本概念与作用
地图投影是将地球椭球面上的地理信息转换为二维平面地图的数学过程，是地理信息系统（GIS）与地图学的核心技术之一。由于地球是一个近似椭球的曲面体，而地图通常呈现在平面介质上，因此必须通过特定的数学方法进行投影变换。不同的投影方式会带来不同的变形特征，如形状、面积、方向和距离的保持程度各不相同。理解地图投影的基本概念，有助于在地图制作、空间分析、导航系统以及地理数据可视化中做出合理的选择。本章将围绕投影的定义、分类及其在GIS中的作用展开，为后续深入学习奠定理论基础。
2. 地图投影的变形类型与分析
地图投影是将地球表面这一近似椭球体上的地理信息转换为平面地图的过程。由于地球表面是一个曲面，而地图是二维平面，这种转换不可避免地会带来一定的几何变形。理解这些变形的类型及其影响，是正确选择地图投影、进行地图分析和空间决策的关键。本章将系统介绍地图投影中的三种基本变形类型：形状变形、面积变形和方向变形，并通过可视化与评估方法来分析其在不同投影下的表现。此外，还将探讨这些变形在实际地理应用中的意义，帮助读者从理论到实践全面掌握地图投影变形的核心知识。
2.1 地图投影变形的基本分类
地图投影的变形主要体现在三个方面： 形状、面积和方向 。这三种变形分别对应于投影是否保持局部形状（保角性）、是否保持面积比例（等面积性）以及是否保持方向一致性（方位保持）。理解这些变形的基本分类，是掌握地图投影本质的第一步。
2.1.1 形状变形（保角性）
形状变形（Shape Distortion）指的是地图上某一点周围小区域的图形是否与地球表面上对应的区域形状一致。如果地图投影在局部范围内保持了角度不变，即两条线之间的夹角在投影前后保持一致，则称该投影具有 保角性（Conformal） 。
保角性的数学定义
设地球表面某点 $ P $ 的邻域内两条曲线在该点的夹角为 $ heta $，在投影平面上对应的曲线夹角为 $ heta’ $，若对任意 $ P $ 的邻域都有 $ heta = heta’ $，则称该投影为保角投影。
典型保角投影示例
最典型的保角投影是 Mercator 投影 ，它广泛应用于航海图中，因为在这种投影下，航线（大圆）可以被表示为直线，便于导航。
from mpl_toolkits.basemap import Basemap
import matplotlib.pyplot as plt
# 使用Matplotlib绘制Mercator投影地图
plt.figure(figsize=(12, 8))
m = Basemap(projection='merc', llcrnrlat=-80, urcrnrlat=80, llcrnrlon=-180, urcrnrlon=180, resolution='c')
m.drawcoastlines()
m.drawcountries()
plt.title("Mercator Projection - Conformal")
plt.show()代码说明：
–是 Python 的地图绘制库。
Basemap
–表示使用 Mercator 投影。
'merc'
–、
llcrnrlat等参数设定地图的边界范围。
urcrnrlat
–表示使用粗略分辨率。
resolution='c'逻辑分析：
该代码绘制了 Mercator 投影下的全球地图。由于其保角性，地图上各区域的局部形状保持良好，但极地地区明显被拉伸变形，体现出其在面积上的失真。
2.1.2 面积变形（等面积性）
面积变形（Area Distortion）指的是地图上某区域的面积是否与地球表面上对应的区域面积成比例。如果一个投影保持面积不变，即投影前后的面积比例恒定，则称其为 等面积投影（Equal-area） 。
等面积性的数学定义
设地球表面某区域 $ A $ 在投影平面上对应的面积为 $ A’ $，若对任意区域都有 $ A’ = k cdot A $，其中 $ k $ 为常数，则称该投影为等面积投影。
典型等面积投影示例
Albers 等面积圆锥投影 是常用的等面积投影，特别适用于中纬度地区的地图绘制，例如美国的州地图。
# 使用Basemap绘制Albers等面积投影
plt.figure(figsize=(12, 8))
m = Basemap(projection='aea', lat_1=20, lat_2=60, lon_0=-96, resolution='c',
llcrnrlon=-170, llcrnrlat=10, urcrnrlon=-20, urcrnrlat=70)
m.drawcoastlines()
m.drawcountries()
plt.title("Albers Equal-Area Projection")
plt.show()参数说明：
–表示使用 Albers 投影。
projection='aea'
–和
lat_1是两个标准纬线。
lat_2
–是中心经线。
lon_0
– 地图范围设置为北美区域。逻辑分析：
该图展示了 Albers 投影的全球表现。虽然极地和赤道区域有形状上的变形，但各区域的面积保持了相对真实比例，适合用于资源分布、人口密度等面积敏感的可视化任务。
2.1.3 方向变形（方位保持）
方向变形（Direction Distortion）是指地图上某点到其他点的方向是否与地球表面一致。如果一个投影保持从某一点出发的所有方向不变，则称其为 方位投影（Azimuthal） ，特别适用于极地地图或以某一点为中心的地图。
方位保持的数学定义
设地球表面上某点 $ P $ 到任意点 $ Q $ 的方位角为 $ alpha $，在投影平面上对应的方位角为 $ alpha’ $，若对任意 $ Q $ 都有 $ alpha = alpha’ $，则称该投影为方位投影。
典型方位投影示例
Lambert 等距方位投影 是一种常见的方位投影，常用于极地地图绘制。
# Lambert 等距方位投影示例
plt.figure(figsize=(10, 10))
m = Basemap(projection='laea', lat_0=90, lon_0=0, resolution='c',
llcrnrx=0., llcrnry=0., urcrnrx=2000000, urcrnry=2000000)
m.drawcoastlines()
m.drawparallels(range(0, 90, 10), labels=[False, False, False, False])
m.drawmeridians(range(0, 360, 30), labels=[False, False, False, False])
plt.title("Lambert Azimuthal Equal-Area Projection")
plt.show()参数说明：
–表示 Lambert 等距方位投影。
projection='laea'
–表示中心纬度为北极。
lat_0=90
–和
llcrnrx等参数设定投影区域的范围。
urcrnrx逻辑分析：
该图为北极为中心的 Lambert 投影，方向保持良好，适合用于极地研究和航空导航。但远离中心的区域会出现明显的形状拉伸。
2.2 投影变形的可视化与评估方法
为了直观理解不同地图投影的变形特性，常用可视化工具来展示和比较其形状、面积和方向的保持情况。Tissot 变形椭圆是一种经典方法，可以用来评估地图投影的局部变形特性。
2.2.1 Tissot变形椭圆的应用
Tissot变形椭圆（Tissot’s Indicatrix） 是由法国数学家 Nicolas Auguste Tissot 提出的一种可视化工具。其基本思想是：在地球表面画出一系列无限小的圆，然后在投影平面上观察这些圆的形状变化，从而判断投影的变形情况。
Tissot椭圆的数学原理
设地球表面某点 $ P $ 处的单位圆在投影平面上变为一个椭圆，其主轴长度 $ a $ 和 $ b $ 分别表示在该点处沿主方向的尺度变化，椭圆的方向表示形状变形的方向。
使用 Python 绘制 Tissot 椭圆
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.basemap import Basemap
def plot_tissot_ellipse(m, lon, lat, radius=500000):
# 绘制Tissot椭圆
m.tissot(lon, lat, radius, 100, facecolor='none', edgecolor='r')
# 绘制Mercator投影并叠加Tissot椭圆
plt.figure(figsize=(12, 8))
m = Basemap(projection='merc', llcrnrlat=-80, urcrnrlat=80, llcrnrlon=-180, urcrnrlon=180, resolution='c')
m.drawcoastlines()
m.drawcountries()
# 在不同纬度位置绘制Tissot椭圆
lats = [-60, -30, 0, 30, 60]
lons = [0, 0, 0, 0, 0]
for lat, lon in zip(lats, lons):
plot_tissot_ellipse(m, lon, lat)
plt.title("Tissot Indicatrix in Mercator Projection")
plt.show()逻辑分析：
– 该代码使用的
Basemap方法绘制椭圆。
tissot()
– 在不同纬度位置绘制多个椭圆，观察其在 Mercator 投影下的变形。
– 结果显示：在赤道附近椭圆保持圆形（保角性），而在高纬度地区，椭圆变大但形状不变，表明面积变形严重。
2.2.2 不同投影下的区域形状与面积变化分析
通过对比不同投影下同一区域的显示效果，可以更直观地理解变形的差异。
对比示例：非洲大陆在 Mercator 与 Albers 投影下的表现
| 投影类型 | 形状表现 | 面积表现 | 应用场景 |
|---|---|---|---|
| Mercator | 形状保持良好 | 面积严重失真（尤其在高纬度） | 导航、航海 |
| Albers | 形状略有变形 | 面积保持良好 | 资源分布、人口统计 |
图表示意（mermaid 流程图）
graph LR
A[地图投影] --> B{关注变形类型}
B -->|形状| C[Mercator]
B -->|面积| D[Albers]
B -->|方向| E[Lambert]
流程图说明：
– 该图展示了不同变形关注点对应的典型投影类型。
– 根据应用需求选择合适的投影类型，有助于提升地图表达的准确性与实用性。
2.3 常见变形类型的地理意义
地图投影的变形不仅影响地图的视觉效果，更在地理分析、空间决策中具有深远意义。不同的变形类型对导航、资源展示、区域关系表达等任务具有不同的适用性。
2.3.1 形状变形对导航和方向判断的影响
保角投影（如 Mercator）能够保持局部形状，因此在航海导航中至关重要。船只沿等角航线航行时，在 Mercator 投影图上表现为直线，极大简化了导航操作。
实例分析：航海航线在 Mercator 投影下的表现
在 Mercator 投影中，从纽约到伦敦的航线表现为一条直线，而在其他投影中可能为曲线。这体现了保角性在导航中的优势。
2.3.2 面积变形对资源分布展示的影响
等面积投影在资源分布、人口密度等数据可视化中具有不可替代的作用。例如，非洲在 Mercator 投影中面积被压缩，而在 Albers 投影中能更真实地反映其广阔面积，有助于正确理解资源分布格局。
实例分析：全球人口密度图在不同投影下的表现
| 投影类型 | 地图特征 | 适用场景 |
|---|---|---|
| Mercator | 形状清晰，面积失真 | 教育、导航 |
| Albers | 面积真实，形状略有失真 | 资源分布、人口统计 |
2.3.3 方向变形对区域方位关系的表达
方位投影在极地研究、航空导航等领域具有重要意义。例如，Lambert 投影常用于绘制以北极为中心的地图，保持从中心点出发的所有方向一致，便于航空路径规划。
实例分析：北极航线在 Lambert 投影下的表现
在 Lambert 投影中，从北极到世界各地的航线均为直线，显示出良好的方向保持特性，适用于全球航空导航系统的构建。
通过本章内容的学习，读者应能理解地图投影中形状、面积和方向变形的基本类型及其影响，并能根据实际应用需求选择合适的投影方式。下一章将深入探讨等角投影的原理与实际应用，进一步提升地图投影的实践能力。
3. 等角投影的原理与实际应用
在地图投影体系中， 等角投影 （Conformal Projection）以其能够保持局部角度不变的特性而广受关注。这种投影方式在导航、气象制图、工程测量等领域具有极高的实用价值。本章将从等角投影的基本数学原理入手，结合典型投影如 墨卡托投影 （Mercator Projection）的构造方法与实际应用场景，全面解析其工作机理、优势与局限性，并探讨其在不同地理范围中的适用性。
3.1 等角投影的基本原理
等角投影，又称为 保角投影 ，是指在投影过程中，任意两个相交方向之间的夹角在投影前后保持不变。这种特性使得地图在局部区域内保持了形状的相似性，特别适合用于方向识别和导航应用。
3.1.1 保角映射的数学基础
等角投影的核心在于 保角映射 （Conformal Mapping），即在复平面上满足柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann Equations）的映射。设地球表面为一个曲面，用经纬度表示为 $(lambda, phi)$，地图平面上的坐标为 $(x, y)$。若该映射函数满足：
frac{partial x}{partial lambda} = frac{partial y}{partial phi}, quad
frac{partial x}{partial phi} = -frac{partial y}{partial lambda}
则该投影为等角投影。此条件保证了在任意点附近，微小区域的形状不会发生扭曲，角度得以保留。
保角投影的局部缩放因子
在等角投影中，虽然角度保持不变，但缩放因子（scale factor）可以随位置变化。设缩放因子为 $k(lambda, phi)$，则：
k = frac{ds’}{ds}
其中 $ds’$ 是地图平面上的距离，$ds$ 是地表上的实际距离。由于等角投影保持了形状不变，因此在局部范围内，比例尺一致，但随着纬度变化，整体面积可能产生显著失真。
举例：墨卡托投影的保角性证明
以墨卡托投影为例，其变换公式如下：
x = R (lambda – lambda_0)
y = R ln left| an left( frac{pi}{4} + frac{phi}{2}
ight)
ight|
对 $x$ 和 $y$ 分别求偏导并代入柯西-黎曼方程，可以验证其保角性。这使得墨卡托投影在航海导航中极为重要。
3.1.2 典型等角投影类型介绍
墨卡托投影（Mercator Projection）
特性 ：保持方向与角度不变，纬线间距随纬度升高而增大。 优点 ：便于航海导航，航线表现为直线（恒向线）。 缺点 ：极地地区严重失真，面积夸大。
兰伯特共形圆锥投影（Lambert Conformal Conic Projection）
特性 ：适用于中纬度地区的等角投影，常用标准纬线（Standard Parallels）来减少失真。 优点 ：在中纬度区域保持良好角度和形状，适合国家或区域地图。 缺点 ：不适合全球范围，仅适用于特定区域。
斯特林投影（Stereographic Projection）
特性 ：极地投影，将球面投影到平面上，中心点无变形。 优点 ：在极地地区使用广泛，保持保角性。 缺点 ：远离中心点的区域变形较大。
比较表格：常见等角投影特性对比
| 投影名称 | 适用区域 | 优点 | 缺点 | 典型用途 |
|---|---|---|---|---|
| 墨卡托投影 | 赤道至中纬度 | 保角、导航便利 | 极地失真严重 | 海图、世界地图 |
| 兰伯特共形圆锥投影 | 中纬度地区 | 区域保角、形状良好 | 不适合全球 | 国家地图、气象图 |
| 斯特林投影 | 极地 | 保角、极地中心无失真 | 边缘失真大 | 极地研究、导航 |
3.2 Mercator投影的特性与应用
墨卡托投影是等角投影中最著名的一种，广泛应用于航海、航空导航和现代电子地图中。其核心特性是将地球表面的经纬线映射为平面直角坐标系中的直线，从而实现恒向线为直线的导航便利。
3.2.1 Mercator投影的几何构造方法
墨卡托投影的构造基于等角条件，其核心思想是将地球视为一个球体（或椭球体），并通过积分变换将纬度拉伸，使得在任意点处的局部缩放因子一致，从而保持角度不变。
数学公式推导（球面近似）：
x = R (lambda – lambda_0)
y = R ln left[ an left( frac{pi}{4} + frac{phi}{2}
ight)
ight]
其中：
– $ R $：地球半径；
– $ lambda $：经度；
– $ phi $：纬度；
– $ lambda_0 $：中央子午线。
代码实现：Python绘制墨卡托投影网格
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
R = 6371000 # 地球半径，单位：米
def mercator(lon, lat):
x = R * np.radians(lon)
y = R * np.log(np.tan(np.radians(45 + lat / 2)))
return x, y
# 生成经纬网格
lons = np.linspace(-180, 180, 360)
lats = np.linspace(-85, 85, 180)
x_coords, y_coords = [], []
for lat in lats:
x, y = mercator(lons, lat)
x_coords.append(x)
y_coords.append(y)
# 绘图
plt.figure(figsize=(12, 8))
for i in range(len(x_coords)):
plt.plot(x_coords[i], y_coords[i], color='blue', linewidth=0.5) # 纬线
for lon in lons:
x, y = mercator(lon, lats)
plt.plot(x, y, color='green', linewidth=0.5) # 经线
plt.title("Mercator Projection Grid")
plt.xlabel("X (meters)")
plt.ylabel("Y (meters)")
plt.axis('equal')
plt.grid(True)
plt.show()代码分析：
第1-2行 ：导入必要的数值计算与绘图库。 第4-8行 ：定义墨卡托投影函数，将经纬度转换为平面坐标。 第10-19行 ：生成经纬度网格，并计算其对应的平面坐标。 第21-30行 ：使用matplotlib绘制经纬线，展示墨卡托投影的网格结构。
该代码通过Python实现了墨卡托投影的经纬线绘制，直观展示了其在高纬度地区经线拉伸的特性。
3.2.2 海图导航中的广泛应用
墨卡托投影的最大优势在于其保持方向不变的特性，使得航海和航空导航中可以使用直线路径（恒向线）进行航行规划。
实际应用案例：航海路线规划
假设一艘船从纽约（40.7128°N, 74.0060°W）驶向伦敦（51.5074°N, 0.1278°W），在墨卡托投影地图上，只需连接两地为一条直线，即可得到恒向线（Rhumb Line）。
实现步骤：
坐标转换 ：将两地经纬度转换为墨卡托平面坐标。 路径绘制 ：在地图上绘制连接两点的直线。 导航执行 ：船舶或飞机沿该直线方向保持固定航向即可抵达目的地。
优势：
操作简便，易于导航； 在低纬度区域误差较小； 支持传统导航工具使用（如罗盘）。
局限性：
高纬度区域路径偏长； 极地地区无法表示； 实际最短路径为大圆航线，墨卡托投影不反映最短路径。
3.3 等角投影的局限性与使用场景
尽管等角投影在局部形状保持方面具有优势，但其全局特性也存在显著局限，尤其在极地和全球地图应用中。
3.3.1 极地区域的失真问题
等角投影在极地区域的失真尤为严重，尤其以墨卡托投影为代表。由于纬度越高，缩放因子越大，导致极地地区的面积被极度夸大。
示例：格陵兰岛与非洲面积对比
在墨卡托投影地图上，格陵兰岛看起来几乎与非洲一样大，但实际上非洲的面积约为格陵兰岛的14倍。这种视觉误导使得等角投影在表达面积信息时并不适合。
解决方案：
使用等面积投影（如Albers）表达面积信息； 对极地地区采用斯特林投影或其他极地专用投影； 多投影融合：在不同区域使用不同的投影类型以平衡误差。
3.3.2 在全球地图与局部区域地图中的适用性对比
| 应用场景 | 适用投影 | 优势 | 缺点 |
|---|---|---|---|
| 全球地图 | 墨卡托投影 | 导航便利、保角 | 极地失真严重、面积误导 |
| 局部区域地图（如国家地图） | 兰伯特共形圆锥投影 | 保角、形状良好 | 不适合全球 |
| 极地研究 | 斯特林投影 | 极地中心无失真 | 边缘变形大 |
选择建议：
全球导航与教学地图 ：可使用墨卡托投影，但需注明其面积失真问题； 国家或区域级地图 ：推荐使用兰伯特共形圆锥投影； 极地研究与地图展示 ：采用斯特林投影或极地等面积投影。
实际操作：ArcGIS中切换等角投影与等面积投影
在ArcGIS中可以通过以下步骤切换投影类型：
打开ArcMap或ArcGIS Pro； 添加地理数据（如世界国家边界）； 右键点击图层 → 属性 → 数据框 → 更改地图投影； 选择“Mercator”或“Lambert Conformal Conic”等投影类型； 应用并观察地图变化。
通过这种方式，用户可以直观比较不同投影下的地图表现，辅助选择最合适的地图投影方案。
本章系统地讲解了等角投影的数学原理、典型投影类型、墨卡托投影的构造方法及其在导航中的应用，并深入分析了其在极地区域的局限性和不同场景下的适用性。下一章将探讨等面积与等距投影的理论与实践，进一步丰富地图投影的知识体系。
4. 等面积与等距投影的理论与实践
在地图投影中，等面积投影和等距投影是两种具有明确用途的投影类型，分别强调对面积和距离的保持。这两种投影类型在地理信息系统（GIS）中广泛应用于资源分布分析、人口统计、地图可视化等领域。本章将深入探讨等面积投影和等距投影的基本原理、典型投影类型及其在实际应用中的操作方法，帮助读者理解其背后的数学机制与地理意义。
4.1 等面积投影的基本特性
等面积投影（Equal-Area Projection）是一种保证地图上任意区域的面积与地球表面实际面积成比例的投影方式。这种投影不保证形状、角度或距离的真实，但能准确反映区域之间的面积关系，因此在资源分布、人口密度等分析中具有重要价值。
4.1.1 面积保真的数学实现
等面积投影的核心数学目标是保持面积不变性。在数学上，一个投影被称为等面积的条件是其雅可比行列式的绝对值恒等于1。也就是说，对于地球表面任意微小区域 $dA$，其在投影平面上的面积 $dA’$ 满足：
left| frac{partial(x, y)}{partial(phi, lambda)}
ight| = 1
其中：
– $ phi $ 是纬度
– $ lambda $ 是经度
– $ x, y $ 是投影平面上的坐标
这个条件意味着，虽然形状可能会发生畸变，但面积在投影前后保持一致。
举例说明：Lambert方位等面积投影
Lambert方位等面积投影是一种典型的等面积投影，常用于全球地图展示。其投影公式如下：
x = k cdot (lambda – lambda_0) cdot cos phi
y = k cdot phi
其中：
– $ lambda_0 $ 是中心经度
– $ k $ 是缩放因子
通过这种方式，地图在不同纬度和经度方向上保持面积不变。
等面积投影的优缺点分析
| 特性 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|
| 面积 | 面积保持，适用于资源分布展示 | 形状和角度变形较大 |
| 角度 | 不保角，形状失真明显 | 不适合导航和方向分析 |
| 距离 | 距离不保真 | 不适合用于测量 |
4.1.2 Albers等面积圆锥投影的应用实例
Albers等面积圆锥投影是一种广泛用于中纬度地区地图制作的等面积投影方式，尤其适用于美国、加拿大等国家的国家级地图。
投影公式简要说明
Albers投影将地球表面投影到一个圆锥面上，再展开为平面。其基本公式如下：
x =
ho cdot sin(n(lambda – lambda_0))
y =
ho_0 –
ho cdot cos(n(lambda – lambda_0))
其中：
– $
ho $、$
ho_0 $ 是基于纬度的函数
– $ n $ 是圆锥常数，取决于两个标准纬度
– $ lambda_0 $ 是中心经度
代码实现（Python + Pyproj）
以下是一个使用 Python 的
pyproj
from pyproj import Proj, transform
# 定义 Albers 投影参数
albers = Proj(proj='aea', # Albers Equal Area
lat_1=29.5, # 第一个标准纬线
lat_2=45.5, # 第二个标准纬线
lat_0=37.5, # 中心纬度
lon_0=-96, # 中心经度
x_0=0, # 东移偏移
y_0=0, # 北移偏移
ellps='GRS80',# 椭球模型
datum='NAD83')# 基准面
# WGS84 地理坐标系统定义
wgs84 = Proj(proj='latlong', datum='WGS84')
# 将经纬度 (37.7749, -122.4194) 转换为 Albers 投影坐标
x, y = transform(wgs84, albers, -122.4194, 37.7749)
print(f"Projected coordinates: x={x}, y={y}")代码逻辑分析
第1行导入
Proj
transform
transform
Albers投影的适用场景
| 应用领域 | 场景描述 |
|---|---|
| 人口统计 | 用于展示人口密度图，面积不变性保证数据准确 |
| 资源分布 | 如石油、森林等资源分布图，面积比例准确 |
| 国家地图 | 常用于中纬度国家或区域地图绘制 |
4.2 等距投影的特点与应用
等距投影（Equidistant Projection）是指在某些特定方向或点上保持距离不变的投影方式。它并不保证面积或形状的保真，但在某些方向上具有距离不变性，适合用于测量或方向分析。
4.2.1 距离保持的投影方式
等距投影的核心特性是在特定方向或点上保持距离不变。例如：
方位等距投影（Azimuthal Equidistant） ：从中心点出发的所有方向上的距离保持真实。 圆柱等距投影（Equirectangular） ：在经线方向保持距离不变。
数学表达
以方位等距投影为例，其数学表达为：
x = k cdot cos heta cdot sin(lambda – lambda_0)
y = k cdot left[ cos heta_0 cdot sin heta – sin heta_0 cdot cos heta cdot cos(lambda – lambda_0)
ight]
其中：
– $ heta $ 是纬度的余角（即 $90^circ – phi$）
– $ heta_0 $ 是中心点纬度的余角
– $ lambda_0 $ 是中心点经度
– $ k $ 是缩放因子
该公式保证了从中心点出发的任意方向上的距离保持不变。
等距投影的优缺点
| 特性 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|
| 距离 | 特定方向或点上距离保持不变 | 其他方向或区域距离失真 |
| 面积 | 面积不保真 | 不适合资源分布分析 |
| 形状 | 变形较严重 | 不适合导航和形状分析 |
4.2.2 Lambert等距方位投影的使用场景
Lambert等距方位投影是一种常见的等距投影，其核心特性是从中心点出发的所有方向上的距离保持不变。它广泛应用于航空导航、地球科学等领域。
投影公式简述
Lambert等距方位投影的公式如下：
x = k cdot (lambda – lambda_0) cdot cos phi
y = k cdot phi
其中：
– $ lambda_0 $ 是中心经度
– $ k $ 是缩放因子
这种投影方式在中心点附近具有良好的距离保持特性，适合用于局部区域的距离测量。
代码实现（Python + Cartopy）
import cartopy.crs as ccrs
import matplotlib.pyplot as plt
# 设置 Lambert 等距方位投影
proj = ccrs.LambertAzimuthalEqualArea(central_longitude=-96, central_latitude=37.5)
# 创建地图绘图对象
fig = plt.figure(figsize=(8, 8))
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection='lambertazimuthalequalarea', central_longitude=-96, central_latitude=37.5)
# 添加海岸线
ax.coastlines()
# 设置地图范围
ax.set_global()
# 显示地图
plt.show()代码逻辑分析
第1-2行导入
cartopy.crs
matplotlib.pyplot
使用场景分析
| 应用领域 | 场景描述 |
|---|---|
| 航空导航 | 用于显示从中心机场出发的飞行距离 |
| 地球科学研究 | 用于绘制从某一点出发的地震波传播图 |
| 局部区域测量 | 用于城市或区域内部的距离测量与分析 |
4.3 等面积与等距投影在GIS中的典型用途
在GIS系统中，等面积和等距投影的选择取决于具体的应用需求。以下将分别讨论它们在人口分布、资源统计、地图可视化等领域的典型应用。
4.3.1 人口分布、资源统计中的应用
等面积投影因其面积不变性，广泛用于人口密度图、资源分布图等需要面积比例准确的场景。
示例：人口密度地图绘制
使用 Albers 等面积投影绘制美国人口密度地图，可以确保每个州的人口密度比例准确，不会因投影变形而误导读者。
import geopandas as gpd
import matplotlib.pyplot as plt
# 读取美国州界数据
us_states = gpd.read_file('us_states.shp')
# 设置 Albers 投影
albers_proj = ccrs.AlbersEqualArea(central_longitude=-96, central_latitude=39.5, standard_parallels=(29.5, 45.5))
# 绘制人口密度地图
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 8), subplot_kw={'projection': albers_proj})
us_states.plot(column='POP2020', ax=ax, legend=True, cmap='OrRd', edgecolor='black')
ax.set_title('US Population Density (Albers Equal Area Projection)')
plt.show()代码逻辑分析
第1-2行导入
geopandas
4.3.2 地图数据可视化中的选择依据
在地图可视化中，选择等面积还是等距投影取决于数据的性质和用户的分析目标。
选择依据对比表
| 投影类型 | 适用场景 | 数据类型 | 用户目标 |
|---|---|---|---|
| 等面积投影 | 人口密度、资源分布、统计分析 | 面域数据 | 精确比较区域面积 |
| 等距投影 | 航空路线、距离测量、局部分析 | 点、线数据 | 保持特定方向距离真实 |
投影选择流程图（Mermaid）
graph TD
A[选择地图投影] --> B{分析目标是什么？}
B -->|面积比较| C[使用等面积投影]
B -->|距离测量| D[使用等距投影]
B -->|形状保真| E[使用等角投影]
C --> F[Albers、Lambert Azimuthal]
D --> G[Lambert Equidistant、Azimuthal Equidistant]
E --> H[Mercator、Stereographic]
该流程图清晰地展示了根据分析目标选择合适投影类型的过程，帮助GIS从业者在实际工作中做出科学决策。
5. 常见地图投影类型与ArcGIS操作实践
地图投影是GIS中一个至关重要的基础概念，其类型繁多，应用广泛。理解不同地图投影的特点和使用场景，对于地图制作、空间分析和数据可视化至关重要。ArcGIS作为GIS领域最主流的软件平台之一，提供了强大的地图投影设置与转换功能。本章将从常见地图投影类型的对比分析出发，深入探讨其特点与适用场景，并结合ArcGIS平台，详细介绍如何进行地图投影的设置、转换与可视化操作，帮助读者掌握地图投影在实际GIS操作中的应用技巧。
5.1 常用地图投影类型解析
在GIS实践中，选择合适的地图投影是确保地图准确性和实用性的重要前提。不同投影类型适用于不同的用途和区域范围。以下将重点解析几种最常用的地图投影，并比较它们之间的异同。
5.1.1 Mercator与Transverse Mercator的差异
Mercator投影 和 Transverse Mercator投影 是GIS中最常见的两种等角投影，它们在几何结构、适用范围和变形特性方面存在显著差异。
1. Mercator投影简介
Mercator投影是一种等角圆柱投影，最早由Gerardus Mercator于1569年提出，广泛应用于航海导航。其特点是保持方向不变（保角性），适合于航海和航空导航。
优点 ： 保角性：局部形状保持不变。 方向准确：经纬线构成直角，便于导航。 缺点 ： 面积变形严重，尤其在高纬度地区，如格陵兰岛在Mercator投影中看起来与非洲相当，而实际面积仅为非洲的7%。 极点无法表示。
2. Transverse Mercator投影简介
Transverse Mercator投影是一种将圆柱体旋转90度后的Mercator投影形式，适用于沿南北方向延伸的区域，如国家或州级地图。
优点 ： 在中央子午线附近保持良好的保角性和较低的变形。 适用于狭长区域（如英国国家网格、UTM坐标系）。 缺点 ： 离中央子午线越远，变形越大。 不适合全球范围使用。
3. 对比表格
| 特性 | Mercator | Transverse Mercator |
|---|---|---|
| 投影类型 | 正轴圆柱等角投影 | 横轴圆柱等角投影 |
| 保角性 | 是 | 是 |
| 适用区域 | 赤道附近、全球导航 | 狭长南北向区域（如UTM） |
| 面积变形 | 极区严重 | 距离中央子午线越远越严重 |
| 经纬线形状 | 横向直线 | 纵向直线（中央子午线） |
4. 示例代码：使用Python（pyproj）进行Mercator与Transverse Mercator转换
from pyproj import CRS, Transformer
# 定义WGS84地理坐标系
wgs84 = CRS.from_epsg(4326)
# 定义Mercator投影（EPSG:3395）
mercator = CRS.from_epsg(3395)
# 定义Transverse Mercator投影（以UTM Zone 33N为例，EPSG:32633）
tm = CRS.from_epsg(32633)
# 创建转换器
transformer_mercator = Transformer.from_crs(wgs84, mercator, always_xy=True)
transformer_tm = Transformer.from_crs(wgs84, tm, always_xy=True)
# 示例点：北京经纬度（116.4°E, 39.9°N）
lon, lat = 116.4, 39.9
# 转换为Mercator坐标
x_mercator, y_mercator = transformer_mercator.transform(lon, lat)
print(f"Mercator坐标：{x_mercator}, {y_mercator}")
# 转换为Transverse Mercator坐标
x_tm, y_tm = transformer_tm.transform(lon, lat)
print(f"Transverse Mercator坐标：{x_tm}, {y_tm}")代码分析 ：
使用
pyproj
5.1.2 Lambert与Albers投影的比较
Lambert等距方位投影 和 Albers等面积圆锥投影 是两种常见的圆锥投影，广泛用于区域地图绘制，尤其适用于中纬度地区。
1. Lambert等距方位投影
Lambert等距方位投影（Lambert Azimuthal Equal-Area Projection）是一种等面积投影，常用于全球或半球地图展示。
优点 ： 保持面积不变。 适用于展示全球分布数据（如人口密度、气候分布）。 缺点 ： 形状和角度变形较大。 适合中心点附近区域，远离中心点变形加剧。
2. Albers等面积圆锥投影
Albers等面积圆锥投影（Albers Equal-Area Conic Projection）是一种双标准纬线等面积投影，广泛用于美国、加拿大等国的地图绘制。
优点 ： 保持面积不变。 双标准纬线区域变形最小。 适用于中纬度区域地图（如美国州级地图）。 缺点 ： 形状和角度有一定变形。 不适合全球范围使用。
3. 对比表格
| 特性 | Lambert方位等面积投影 | Albers等面积圆锥投影 |
|---|---|---|
| 投影类型 | 方位等面积投影 | 圆锥等面积投影 |
| 保面积性 | 是 | 是 |
| 适用区域 | 全球或半球地图 | 中纬度区域（如美国） |
| 变形特点 | 中心区域保形较好，边缘变形大 | 双标准纬线区域保形较好 |
| 常见用途 | 气候、资源分布图 | 国家或州级统计地图 |
4. 示例代码：使用QGIS进行Lambert与Albers投影设置
在QGIS中，可以通过以下步骤设置Lambert和Albers投影：
# 示例：使用QGIS Python API设置Albers投影
from qgis.core import QgsCoordinateReferenceSystem
# 设置Albers等面积圆锥投影（自定义参数）
albers_proj = QgsCoordinateReferenceSystem()
albers_proj.createFromProj("+proj=aea +lat_1=29.5 +lat_2=45.5 +lat_0=37.5 +lon_0=-96 +x_0=0 +y_0=0 +datum=NAD83 +units=m +no_defs")
print("Albers投影设置成功")
# 设置Lambert方位等面积投影（EPSG:9824）
lambert_proj = QgsCoordinateReferenceSystem.fromEpsgId(9824)
print("Lambert投影设置成功")代码分析 ：
使用
QgsCoordinateReferenceSystem
lat_1=29.5
lat_2=45.5
lon_0=-96
fromEpsgId
5. 投影选择建议流程图（mermaid）
graph TD
A[地图用途] --> B{是否需要全球展示?}
B -->|是| C[Lambert方位等面积投影]
B -->|否| D{是否为中纬度区域?}
D -->|是| E[Albers等面积圆锥投影]
D -->|否| F{是否用于导航?}
F -->|是| G[Mercator]
F -->|否| H[Transverse Mercator]
流程图说明 ：
根据地图用途，判断是否需要全球展示。 若需要全球展示，推荐使用Lambert方位等面积投影； 若为中纬度区域，推荐使用Albers等面积圆锥投影； 若用于导航，推荐使用Mercator； 若用于局部区域地图（如国家、省域），推荐使用Transverse Mercator。
5.2 ArcGIS平台下的地图投影设置
ArcGIS平台提供了强大的地图投影设置功能，用户可以在地图文档（.mxd）或数据框架（DataFrame）中设置投影，并对数据进行重新投影（Reproject）或转换（Project）。以下将详细介绍如何在ArcGIS中进行地图投影的设置与转换操作。
5.2.1 数据框架投影属性配置步骤
在ArcGIS中，地图的显示投影是由数据框架（DataFrame）的坐标系决定的。配置步骤如下：
1. 打开ArcMap并加载数据
打开ArcMap，创建一个新的地图文档。 加载需要设置投影的地理数据（如Shapefile或GeoDatabase）。
2. 设置数据框架投影
右键点击地图视图区域，选择“Properties”。 切换到“Data Frame”选项卡。 点击“Coordinate System”右侧的“Edit”按钮。 选择预设的坐标系或自定义坐标系（如Albers、Lambert、UTM等）。 确认后点击“OK”完成设置。
3. 效果预览
数据将自动根据新设置的坐标系进行重投影。 可以观察经纬线、地图边界等要素的变化。
4. 示例代码：使用ArcPy设置数据框架投影
import arcpy
# 设置当前地图文档
mxd = arcpy.mapping.MapDocument("CURRENT")
df = arcpy.mapping.ListDataFrames(mxd)[0]
# 定义Albers投影（NAD83 / CONUS Albers）
sr = arcpy.SpatialReference(102039) # 102039是Albers CONUS的EPSG代码
# 设置数据框架坐标系
df.spatialReference = sr
# 刷新地图视图
arcpy.RefreshActiveView()
print("数据框架投影设置成功")代码分析 ：
使用ArcPy库操作当前地图文档中的数据框架。 设置空间参考为Albers CONUS（EPSG:102039）。 最后刷新地图视图，确保投影生效。
5.2.2 利用“项目到新坐标系”工具进行投影变换
当需要将数据从一个坐标系转换到另一个坐标系时，可以使用ArcGIS的“Project”工具进行永久性的坐标系转换。
1. 工具路径
在ArcToolbox中，依次展开“Data Management Tools” → “Projections and Transformations” → “Feature” → “Project”。
2. 参数设置
Input Dataset or Feature Class ：选择需要转换的矢量数据。 Output Dataset or Feature Class ：指定输出路径和文件名。 Output Coordinate System ：选择目标坐标系（如WGS84、Albers、UTM等）。 Geographic Transformation （可选）：选择合适的地理变换方法（如NAD_1983_To_WGS_1984）。
3. 示例代码：使用ArcPy执行投影变换
import arcpy
# 输入数据路径
input_fc = r"C:Datashapefilescities.shp"
# 输出数据路径
output_fc = r"C:Datashapefilescities_albers.shp"
# 定义目标坐标系
out_sr = arcpy.SpatialReference(102039) # Albers CONUS
# 执行投影变换
arcpy.Project_management(input_fc, output_fc, out_sr)
print("投影变换完成")代码分析 ：
使用
Project_management
cities_albers.shp
5.3 投影变换对地图要素的影响分析
地图投影的变换会直接影响地图的几何形态、比例关系和空间特征。因此，在进行投影变换前后，需要对地图要素的变化进行详细分析。
5.3.1 海岸线与经纬网的变化观察
不同的投影方式会导致海岸线形状、经纬线的排列方式发生变化。以下是比较不同投影下海岸线与经纬网变化的示例。
1. 示例：在ArcGIS中加载全球海岸线数据并切换投影
加载全球海岸线Shapefile（如GSHHS）。 分别设置为Mercator、Albers和Lambert投影。 观察经纬网与海岸线的变化。
2. 可视化对比图
| 投影类型 | 海岸线形态 | 经纬网形状 | 变化特点 |
|---|---|---|---|
| Mercator | 拉伸明显（极区） | 横向直线 | 赤道附近准确，极区严重变形 |
| Albers | 局部保形较好 | 弧形分布 | 中纬度区域准确，高纬度变形 |
| Lambert | 环形分布 | 放射状 | 全球展示时形状变形较大 |
5.3.2 区域形状与面积的真实感对比
不同投影对区域形状和面积的表达能力不同。例如：
Mercator ：形状保真但面积严重变形； Albers ：面积保真但形状略有变形； Lambert ：面积保真，形状变形随距离中心点增加。
1. 示例：使用ArcGIS对比美国各州面积在不同投影下的显示
加载美国各州行政边界数据； 分别设置为Albers、Mercator和Lambert投影； 观察各州面积在不同投影下的视觉差异。
2. 可视化对比流程图（mermaid）
graph LR
A[原始数据（WGS84）] --> B[设置为Albers投影]
A --> C[设置为Mercator投影]
A --> D[设置为Lambert投影]
B --> E[面积保真，形状略有变形]
C --> F[形状保真，面积严重变形]
D --> G[面积保真，形状随距离中心点变形]
流程图说明 ：
数据原始为WGS84地理坐标； 分别投影到Albers、Mercator和Lambert； 不同投影下，面积与形状的保真性不同； 通过该流程图，可以清晰理解不同投影对地图要素的影响机制。
本章从常用地图投影的对比分析出发，深入讲解了Mercator、Transverse Mercator、Lambert和Albers投影的特点与适用场景，并结合ArcGIS平台，详细介绍了如何在数据框架中设置投影，以及如何使用“Project”工具进行坐标系转换。最后，通过可视化对比，分析了不同投影对海岸线、经纬网、区域形状与面积的影响，帮助读者全面掌握地图投影在GIS操作中的应用实践。
6. 地图投影实验操作与成果展示
6.1 实验流程与操作规范
地图投影实验是GIS教学与实践中的核心环节，通过实际操作可以帮助学生理解不同投影对地图要素的影响。本节将介绍完整的实验流程与操作规范。
6.1.1 投影设置与数据处理流程
在ArcGIS Pro中，进行地图投影设置的基本流程如下：
加载基础数据
导入全球行政区划数据（如Natural Earth数据集）。
设置数据框架投影
“`python
# 使用ArcPy设置地图框架投影
import arcpy
# 设置当前地图文档
mxd = arcpy.mapping.MapDocument(“CURRENT”)
df = arcpy.mapping.ListDataFrames(mxd)[0]
# 设置地图框架的投影为WGS84
df.spatialReference = arcpy.SpatialReference(4326) # WGS84地理坐标系
“`
应用不同投影并导出地图
使用ArcGIS Pro界面或脚本对数据应用不同投影（如Mercator、Albers、Lambert等），并导出为图像或PDF格式。
数据变换与属性更新
对变换后的地图数据进行面积、长度等属性的重新计算。
6.1.2 不同投影下地图输出与对比方法
建议在同一区域内分别应用以下三种典型投影进行对比：
| 投影类型 | 适用场景 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|---|
| Mercator | 海图导航 | 保角，方向准确 | 极区失真严重 |
| Albers等面积圆锥投影 | 资源分布图 | 面积保真 | 形状略有失真 |
| Lambert等距方位投影 | 区域距离分析 | 距离保持良好 | 整体形状变形较大 |
输出地图时，应统一设置图例、比例尺、经纬网、图层样式，以保证对比的准确性。
6.2 实验结果的分析与解读
6.2.1 形状、面积、方向变化的量化评估
为了量化评估不同投影下的地图变形情况，可以采用Tissot变形椭圆法进行可视化分析：
# 使用Geopandas和Pyproj绘制Tissot变形椭圆
import geopandas as gpd
from pyproj import CRS
import matplotlib.pyplot as plt
# 加载全球国界数据
world = gpd.read_file(gpd.datasets.get_path('naturalearth_lowres'))
# 设置目标投影（如Albers等面积投影）
albers_crs = CRS.from_proj4("+proj=aea +lat_1=20 +lat_2=60 +lat_0=40 +lon_0=-96 +x_0=0 +y_0=0 +ellps=GRS80 +datum=NAD83 +units=m +no_defs")
world_albers = world.to_crs(albers_crs)
# 绘制投影后的地图
world_albers.plot()
plt.title("World in Albers Equal Area Projection")
plt.show()通过上述代码可以将全球地图变换到Albers投影下，并观察其形状变化。若需进一步分析，可结合QGIS或ArcGIS的变形椭圆插件进行可视化评估。
6.2.2 地图视觉效果与空间分析的匹配性判断
在视觉层面，建议对比以下指标：
视觉一致性 ：地图要素是否保持自然比例 空间关系准确性 ：相邻区域是否正确表达 符号系统适应性 ：图例、颜色是否反映真实属性
实验中发现，Mercator投影适合导航类地图，但不适用于全球面积对比；Albers投影能更真实地反映区域面积，适合资源分布图展示。
6.3 实验报告撰写与PPT展示技巧
6.3.1 报告结构与内容组织建议
实验报告建议包含以下结构：
实验目的 ：简要说明实验的目标和意义。 实验数据与工具 ：列出使用的数据源与GIS软件。 操作步骤 ：分步骤说明投影设置与地图输出过程。 实验结果 ：展示不同投影下的地图截图与变形分析图。 分析与讨论 ：结合数据对比，分析各投影优劣。 结论与建议 ：总结实验发现，并提出使用建议。
6.3.2 PPT演示中的关键图表与说明技巧
在PPT展示中，建议采用以下图表与技巧：
多图对比 ：使用三栏式布局，对比不同投影下的同一区域。 变形椭圆图示 ：展示Tissot椭圆，直观说明投影变形。 表格总结 ：列出各投影的优缺点，便于观众快速理解。 动画过渡 ：使用平滑切换动画展示地图变换过程。
示例PPT结构：
- 幻灯片1：实验背景与目的
- 幻灯片2：使用数据与工具
- 幻灯片3：实验流程图解
- 幻灯片4：Mercator投影效果展示
- 幻灯片5：Albers投影效果展示
- 幻灯片6：Lambert投影效果展示
- 幻灯片7：三图对比与分析
- 幻灯片8：结论与建议6.4 地图投影在GIS实际应用中的选择标准
6.4.1 根据应用场景选择合适的投影类型
在GIS项目中，应根据以下因素选择投影类型：
地图用途 ： 导航 → 选择保角投影（如Mercator） 统计分析 → 选择等面积投影（如Albers）
区域距离分析 → 选择等距投影（如Lambert）
地理范围 ：
小范围（如城市）→ UTM或Lambert 大范围（如国家）→ Albers或Sinusoidal
全球范围 → Web Mercator（适用于WebGIS）或Robinson（美观）
数据源格式 ：
若数据来自不同投影系统，建议统一变换为一致坐标系。
6.4.2 多源数据集成中的投影一致性控制
在集成多源数据时，常见的问题包括坐标不一致、几何错位等。建议采取以下措施：
统一坐标系 ：选择一个适合项目范围与用途的坐标系作为统一基准。 使用动态投影 ：在ArcGIS中启用“动态投影”功能，可临时展示不同坐标系的数据。 定期检查空间参考 ：在数据处理前，使用如下命令检查数据的空间参考：
import arcpy
# 获取数据的空间参考
desc = arcpy.Describe("your_dataset.shp")
print(desc.spatialReference.name)这样可以避免因坐标系不一致导致的空间分析错误。
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简介：地图学是地理信息系统（GIS）的重要组成部分，实验“地图投影变化”聚焦地图投影的基本原理、类型及其在ArcGIS中的实际应用。通过本实验，学生将掌握地图投影的数学转换机制、常见投影类型（如墨卡托、兰伯特、阿尔伯斯等）的特点与适用场景，并学习使用ArcGIS进行投影设置、转换与效果分析。实验还包含完整操作流程、结果对比与实验报告撰写，全面提升学生对地图投影的理解与GIS实践能力。
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