数字滤波器设计与z变换解析

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1、为以下系统传递函数绘制并联形式的方框图。(a) H(z) = z / [(z + 1/3)(z – 3/4)] (b) H(z) = (8z³ – 4z² + 5z + 9) / (7z³ + 4z² + z + 2)

对于(a)：

      +     +     +     –
     z⁻¹   z⁻¹
      +     –
X(z)         Y(z)
     1/3   4/13
     –3/4  9/13

对于(b)：

      +     +     +     +     +     +     +     +     +     –
X(z)                                       Y(z)
     0.8212   –0.2599
             +     +     +     –     +     z⁻¹   z⁻¹   z⁻¹
            –0.2497   0.3479   –0.9646   1.278   1.143

2、对于任意给定的采样率 $f_s$，$s$ 平面和 $z$ 平面的关系由 $z = e^{sT_s}$ 给出，其中 $T_s = 1/f_s$。设 $f_s = 100$。(a) 描述 $s$ 平面中整个负 $sigma$ 轴对应的 $z$ 平面中的轮廓。(b) $s$ 平面中沿着 $omega$ 轴的线段的最小长度是多少，该线段对应于 $z$ 平面中的整个单位圆？(c) 求 $s$ 平面中对应于 $z$ 平面中 $z = 1$ 的两个不同点 $s_1$ 和 $s_2$ 的数值。

(a) 设 $s = sigma + jomega$，负 $sigma$ 轴上 $sigma < 0$ 且 $omega = 0$，

则 $z = e^{sT_s} = e^{sigma T_s}$，其中 $T_s = 1/f_s = 0.01$，

因此 $|z| = e^{sigma T_s} < 1$，对应 $z$ 平面单位圆内部从原点到单位圆的径向线段。

(b) 单位圆上 $z = e^{jOmega}$，而 $z = e^{sT_s} = e^{(sigma + jomega)T_s}$，

当 $sigma = 0$ 时，$z = e^{jomega T_s}$，对应整个单位圆需 $omega T_s$ 从 $0$ 到 $2pi$。

由于 $T_s = 0.01$，故 $omega$ 的最小长度为 $2pi / T_s = 200pi$。

(c) 当 $z = 1$，即 $e^{sT_s} = 1$，可得 $sT_s = j2kpi$，即 $s = j2kpi / T_s$。

取 $k = 0$ 时，$s_1 = 0$；

取 $k = 1$ 时，$s_2 = j200pi$。

3、使用 MATLAB，求截止频率 ωc = 1 且零频率处增益为 1 的八阶低通巴特沃斯滤波器的传递函数。

1 / [s^8 + 5.126s^7 + 13.1371s^6 + 21.8462s^5 + 25.6884s^4 + 21.8462s^3 + 13.1371s^2 + 5.126s + 1]

4、使用MATLAB设计截止频率为1 kHz的切比雪夫I型和椭圆型四阶模拟高通滤波器。设通带内允许的纹波为2 dB，阻带最小衰减为60 dB。在相同尺度下绘制它们频率响应的幅度波特图以进行比较。每个滤波器的过渡带宽度是多少？

椭圆滤波器的过渡带从445 Hz到1000 Hz，宽度为555 Hz。

切比雪夫I型滤波器的过渡带从274 Hz到1000 Hz，宽度为726 Hz。

5、使用后向差分的有限差分技术，设计一个数字滤波器来近似传递函数为 H(s) = 1 / (s + 1) 的低通滤波器。是否存在一个有限的采样率，使得该数字滤波器不稳定？如果存在，请给出一个这样的采样率。

数字滤波器的传递函数为：

zTsz(1+Ts)−1zTsz(1+Ts)−1

该滤波器绝对稳定，不存在使滤波器不稳定的有限采样率。

6、一个连续时间滤波器的传递函数为 H(s) = 10(s – 8) / (s² + 7s + 12)，使用匹配 z 变换技术将其近似为数字滤波器。希望数字滤波器传递函数 H(z) 的所有零点和极点都位于 z 平面中 z = 1 点的 0.2 距离范围内。所需的最小采样率数值是多少？

43.88

7、使用宽度为 50 的矩形窗和 10000 样本/秒的采样率，设计一个有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器来近似其传递函数为​H​ a​(s)​ = ​ 2000s / (​s​ 2​ + 2000s + 2 × ​10​ 6​)​的模拟滤波器。比较模拟滤波器和数字滤波器的频率响应。

下面是给定的【文本内容】：

hd[n]=20002–√(0.9048)ncos(0.1n+0.7854)(u[n]−u[n−50])hd[n]=20002(0.9048)ncos⁡(0.1n+0.7854)(u[n]−u[n−50])

并给出了模拟滤波器和数字滤波器频率响应的对比图，模拟滤波器频率范围为

0 – 5000Hz

，数字滤波器频率范围为

0 – 12000Hz

。

8、在巴特沃斯、切比雪夫1型、切比雪夫2型和椭圆滤波器中，找出具有以下特性的低通滤波器类型。（a）通带内的幅度频率响应在零频率处单调地趋近于零斜率。（单调意味着“始终朝同一方向移动，要么递增要么递减”）

巴特沃斯滤波器