最优控制与系统分析核心概念解析

table {
border-collapse: collapse;
width: 100%;
margin-bottom: 1rem;
}
th, td {
border: 1px solid #ddd;
padding: 8px;
text-align: left;
}
th {
background-color: #f2f2f2;
}
tr:nth-child(even) {
background-color: #f9f9f9;
}
pre {
background-color: #f8f8f8;
padding: 15px;
border-radius: 4px;
overflow-x: auto;
}

1、我们何时说一个给定函数取得了最小值或最大值？

条件与极值判定

充分条件

若函数 $ f: S o mathbb{R} $ 是连续函数，且 $ S subset mathbb{R} $ 是有界闭集（紧致集），则函数 $ f $ 有最大值和最小值，但这些条件不是必要的。

必要条件

若 $ f: S o mathbb{R} $ 是可微函数，$ x_0 $ 是 $ S $ 的内点，当 $ frac{df}{dx} = 0 $ 时，$ x_0 $ 是驻点；

若 $ frac{d^2f}{dx^2}|_{x_0} > 0 $，则 $ x_0 $ 是最小值点；

若 $ frac{d^2f}{dx^2}|_{x_0} < 0 $，则 $ x_0 $ 是最大值点。

对于 $ n $ 元实值函数，若在 $ x = x_0 $ 处满足：

∂f∂x1=∂f∂x2=⋯=∂f∂xn=0∂f∂x1=∂f∂x2=⋯=∂f∂xn=0

且 Hessian 矩阵 $ H $ 正定，则 $ x_0 $ 是最小值点；若 $ H $ 负定，则 $ x_0 $ 是最大值点。

Euler-Lagrange 方程

若 $ y(x) $ 是使泛函 $ J(y) = int_{x_1}^{x_2} F(x, y, y’) dx $ 取得极值的函数，则其满足 Euler-Lagrange 方程：

ddx(∂F∂y′)−∂F∂y=0ddx(∂F∂y′)−∂F∂y=0

2、什么是拉格朗日乘数（LM）技术？

拉格朗日乘数技术

拉格朗日乘数（LM）技术可将约束优化问题转化为无约束优化问题。

在这种情况下，会定义一个新的泛函：

H(x,y,y′)=F(x,y,y′)+λG(x,y,y′)H(x,y,y′)=F(x,y,y′)+λG(x,y,y′)

然后要优化的新泛函为：

J(y)=∫x2x1H(x,y,y′)dxJ(y)=∫x1x2H(x,y,y′)dx

该问题可通过用 $ H $ 代替 $ F $ 的欧拉-拉格朗日（EL）方程处理，且端条件相同。

3、在一些成本函数方程里出现了像Q和R这样的加权矩阵，这些矩阵有什么意义？

下面是给定的【文本内容】：

矩阵 $ R(cdot) $ 和 $ P_f(cdot) $ 是对称且半正定的，矩阵 $ Q(cdot) $ 是对称正定的，$ Q(cdot) $ 需严格正定，因其逆矩阵会被用到。这些矩阵可称为格拉姆矩阵，既是加权矩阵也是归一化矩阵。

$ R(cdot) $ 可称为“信息”格拉姆矩阵，$ Q(cdot) $ 可用于满足最优控制问题必要条件时所需的逆运算。

4、什么是 LQG 问题？

线性二次高斯（LQG）控制问题

线性二次高斯（LQG）控制问题是指在假设干扰被表征为随机过程的情况下，最小化输出方差（能量）之和。

LQG 理论中使用的成本函数是特定的范数，即闭环传递函数（TF）的 H2 范数，因此 LQG 控制问题也被称为 H2 最优控制。

5、什么是线性二次型调节器（LQR）问题？

当系统动态是线性的且成本是二次型的，即成本泛函中的被积函数是二次型时，所对应的问题就是线性二次型调节器（LQR）问题。对动态系统结构的这种额外设定使最优控制问题更易处理，有助于更全面地理解最优解。

6、最大原理是如何表述的？

最大原理（PMP或最大化原理MP）表述为：

H(x^(t),λ(t),u^(t))=maxu∈UH(x^(t),λ(t),u(t))H(x^(t),λ(t),u^(t))=maxu∈UH(x^(t),λ(t),u(t))

其中 $ 0 leq t leq T $。

7、动态规划中使用的基本技术技巧是什么？

在动态规划中，先将特定控制问题进行推广，解决这个更大的问题，再将该解决方案专门应用到原始问题上，即最终解决动态规划问题。

8、动态规划涉及哪些步骤？

推广特定控制问题为更大的问题；2. 求解这个更大的问题；3. 将该解特殊化以解决原始问题。

9、什么是两人微分博弈？

两人微分博弈简介

两人微分博弈需要一个

两人零和（TPZS）微分博弈模型

。

主要思想

两个玩家控制一个演化系统的动态。

其中一个玩家试图

最大化

一个收益泛函。

另一个玩家试图

最小化

该泛函。

该泛函取决于给定动态系统的轨迹。

控制决策特点

每个玩家的控制决策取决于另一个玩家的上一个行动。

在每个时刻，双方都不知道对方未来的行动。

10、在最优控制的背景下，什么是模型预测控制（MPC）？

模型预测控制（MPC）概述

模型预测控制（MPC）相关方案于20世纪70年代末提出，被称为

动态矩阵控制（DMC）

或

模型算法控制（MAC）

。

特点

能处理多变量交互和操作约束。

被表述为约束优化问题。

通过在滑动时间窗口上进行基于模型的预测，在线反复求解。

应用优势

有助于对输入和测量输出数量不等的系统进行最优控制。

线性MPC

与经典状态空间线性二次最优控制（LQOC）相关。

动态模型类型

有限脉冲响应

阶跃响应

线性模型

非线性模型

黑箱模型

机理模型等

工作原理

基于给定动态系统合理准确的数学模型。

研究当前和未来（操纵）输入动作对未来工厂（系统）行为的影响。

在线预测这些影响，以最优方式决定输入动作。

控制类型

MPC是一种调节控制。

使用过程（即系统/工厂）变量响应的显式动态模型。

11、模型预测控制（MPC）算法由什么组成？

MPC算法基于以下几点组成：

1. **给定动态系统合理准确的数学模型**；
2. **研究当前和未来（可操纵）输入动作对未来工厂（系统）行为的影响**（考虑未来可能超出约束的情况）；
3. **在线预测这些影响，并在以最优方式决定输入动作时使用这些预测结果**。

此外，MPC公式的一个主要方面是**状态估计器**，用于进行在线/实时预测。还需要指定要确定控制律的系统动力学，使用**卡尔曼预测器**预测当前状态，通过**创新序列**进行相关计算，并在每个采样时刻使用预测器预测系统未来行为。

在状态空间公式中，基于**输入偏差方法**构建状态预测，需要获得目标状态和输入，将MPC问题定义为**约束优化问题**，同时优化问题有以下约束条件：

- 模型预测方程；
- MCI值约束；
- 预测状态约束。

12、模型预测控制（MPC）中可以使用哪些预测模型？

MPC方法的关键动态模型基础包括：

有限脉冲响应

阶跃响应

线性模型

非线性模型

黑箱模型

机理模型

此外，还可使用状态空间模型用于确定控制律，卡尔曼预测器对应的模型用于预测当前状态，阶跃响应模型用于MPC预测。

13、在一个双输入双输出（TITO）系统中，什么是内部稳定性？

在双输入双输出系统中，若系统所有传递函数（TF）都是稳定的，则称系统具有内部稳定性。

以传递函数

GO(s)=1+GC1−GC+1−GC1+GCGO(s)=1+GC1−GC+1−GC1+GC

为例，设植物和控制器的传递函数分别为

G(s)=BpAp,C(s)=BcAcG(s)=BpAp,C(s)=BcAc

则 $ G_O(s) $ 可表示为特定形式，其稳定性准则是该表达式的公共分母的所有根都在左半 s 平面（LHS），此时称系统 $ (G, C) $ 是稳定的，即具有内部稳定性。

14、如果传递函数（TF）中的极点和零点近似相等，总是可以安全地对它们进行相消吗？

不允许进行相消的情况：

对于在

单位圆上或单位圆外

的极点和零点，补偿器/控制器 $ D_c(z) $ 不应进行相消。

具体原因如下：

连续时间控制系统（CTCS）

：

– 基于稳定极点和零点相消的 $ D_{BR} $ 设计可能导致输出出现

采样间波纹

。

采样数据控制系统（SDCS）

：

– 当工厂传递函数 $ G_{h0}G_p(z^{-1}) $ 至少有一个零点时，

不建议消去零点

（无论它们位于单位圆内还是单位圆外）。

15、什么是哈密顿矩阵？

哈密顿矩阵定义为

H=[A+1γ2BBT−1γ2B(DTD)−1DTC −CT(I−D(DTD)−1DT)C−AT+CT(DTD)−1DTBT]H=[A+1γ2BBT−1γ2B(DTD)−1DTC −CT(I−D(DTD)−1DT)C−AT+CT(DTD)−1DTBT]

当 $D = 0$ 时，哈密顿矩阵简化为

H=[A−1γ2BBT −CTC−AT]H=[A−1γ2BBT −CTC−AT]

16、为什么我们经常使用系统范数？

系统范数在滤波应用、控制系统回路误差评估中有用，在鲁棒控制律设计、确定工厂中可容忍不确定性及模型误差的限制方面也有作用。它们是获得良好控制系统设计的经典标准的正式规范方式，在大多数实际控制应用中，评估线性时不变系统的鲁棒性也需要定义系统范数。

此外，范数和内积可用于测量向量空间之间的距离，有助于定义向量和系统在向量/矩阵空间中的接近程度，在鲁棒控制研究以及一般的控制系统分析、设计和综合中非常有用。

17、“脉冲采样”的数学概念是什么？

在理想采样器中，载波信号是单位脉冲序列，采样持续时间 $ p o 0 $，其输出表示为

f∗(t)=∑k=0∞f(kT)δ(t−kT)f∗(t)=∑k=0∞f(kT)δ(t−kT)

拉普拉斯变换输出为

F∗(s)=∑k=0∞f(kT)e−kTsF∗(s)=∑k=0∞f(kT)e−kTs

此采样过程近似为理想采样器或脉冲调制器。

18、z变换的微分性质是什么？

z变换的微分性质为：Ζ{∂[a f(t, a)]/∂a} = ∂[a F(z, a)]/∂a。

19、z -（Z）变换在离散时间系统分析中起什么作用？

Z变换简介

Z变换是用于分析和设计

离散时间系统

（DTSs）的强大变换技术。

在离散时间系统分析中，Z变换能够将离散时间信号或序列从

时域

转换到

z域

，从而使系统的分析和设计更加方便。

通过Z变换，可以得到系统在z域的

传递函数

，进而分析系统的

稳定性

、

动态响应

等特性。

此外，一些基本函数的Z变换具有特定的表达式，便于进行相关计算。

同时，Z变换具有多种性质，包括：

乘法

线性

实移位

复移位

这些性质可用于简化计算和系统分析。

20、滞后和超前补偿器的主要特点/作用是什么？

补偿器特性对比

超前补偿器

改善瞬态响应

增加系统带宽

提高响应速度

滞后补偿器

改善稳态性能和稳定裕度

但可能破坏瞬态性能

使系统响应变慢

降低系统带宽

21、主要应在何时使用滞后补偿器？

当设计要求提高系统的稳态性能和稳定裕度，且对瞬态性能要求不高或可适当牺牲时，可使用

滞后补偿器

。

它能降低带宽。

虽会使系统响应速度变慢、瞬态性能变差。

但能改善稳态性能和抗干扰能力。

例如

：在满足稳态误差规格要求时，可使用滞后补偿器。

22、何时应主要使用超前补偿器？

当系统的相位裕度（PM）为负时，应使用超前补偿器。

23、闭环系统的极点何时可以自由选择？

当给定的对偶对 (A, B) 是可控的时，才可以找到一个 K 来自由选择闭环系统的极点。

24、为什么在观测器的设计中要使用反馈本身？

一个实用的观测器（估计器）需要有一些反馈来控制观测器自身的动态特性，最合适的反馈是为其设计状态反馈控制器的同一动态系统的输出。

25、实现无差拍响应的主要问题是什么？

无差拍响应设计依赖于对工厂传递函数极点和零点的抵消，如果极点位于

单位圆上或外部

，任何不完美的抵消都可能导致不稳定。因此，出于实际考虑，应避免抵消这些极点，采用不同的设计方法。

26、状态反馈设计是否会导致零点发生变化？

是的。应用状态反馈后，系统传递函数发生变化，出现了零极点相消，被消去的零点位于

s

平面的右半部分，这表明状态反馈设计使零点发生了改变。

27、观测器和控制器的极点能否相互独立选择？

可以。设计控制律得到 $ K $ 的过程可以独立于设计观测器得到 $ L $ 的过程，这就是

分离原理

。组合系统的特征值分别是 $ phi – BK $ 和 $ phi – LH $ 这两个系统（即控制器和观测器闭环系统）的特征值。

28、对于离散时间因果系统，为什么其传递函数的幂级数不应包含 z 的正幂？

因为

z

的正幂表示预测，而因果系统中输出不先于输入，即输出仅取决于输入的过去值，而非未来值，以维持因果原则。

29、任意极点配置的充要条件是什么？

任意极点配置的充要条件是系统对 $(phi, C)$ 是可观测的，根据对偶定理，系统对 $(phi^T, H^T)$ 是可控的。

30、能否通过状态反馈和观测器实现无差拍控制？

可以。控制律使所有极点位于原点可视为无差拍控制；当所有观测器极点为零时，是无差拍观测器。通过状态反馈控制律

u(k)=−Kx(k)u(k)=−Kx(k)

选择合适的 $ K $ 可使系统在最多 $ n $ 步内将任意初始状态驱动到平衡状态 $ x = 0 $，实现无差拍控制。

31、什么是无差拍观测器？

当所有观测器极点都为零时，就是无差拍观测器（DBO）。

32、自适应控制中自适应机制的主要任务是什么？

自适应控制中的自适应机制

自适应控制中自适应机制的主要任务是

实时自动调整控制器

，以实现并维持控制系统的期望性能水平。

特别是在以下情况下：

工厂模型参数

未知

和/或

随时间变化

存在

未知但确定性的干扰

影响动态

该机制能够根据

工厂和干扰动态的变化

，改变调节器的

部分或全部参数

。

示例

例如，当出现以下情况时：

子系统组件

磨损

，导致其特性随时间变化

工厂参数因

运行范围不同

而固有变化

此时，自适应机制可以

更新相关数值

，确保控制系统的

稳定性和性能

。

33、除了鲁棒控制，为什么可能还需要自适应控制？

当工厂模型的参数未知和/或随时间变化，且存在未知但确定性的干扰影响动态时，需要自适应控制。具体体现在：

一些高性能控制系统需要精确调整不断变化的控制器参数，但工厂（干扰）模型参数可能未知或随时间变化；

自适应控制方法为控制器参数的自动在线/实时调整提供了逻辑和系统的方法；

这些方法可视为一些实际中难以解决的非线性随机控制问题的近似方法。

此外：

子系统组件的磨损会使系统特性随时间变化，原设计中使用的特性数值不再有效；

一些工厂的参数会因其运行范围/领域而固有变化，如战斗机和导弹的飞行力学/动力学随飞行条件改变。

34、在什么情况下需要自适应控制器的鲁棒性？

当工厂模型的参数未知和/或随时间变化，以及存在未知但确定性（不一定是随机的）干扰影响动态时，需要自适应控制器的鲁棒性。

例如：

子系统组件的磨损会使组件特性随时间变化，导致原设计中使用的特性数值不再有效；

像战斗机和导弹等，其飞行力学/动力学随飞行条件（如高度和马赫数变化）而变化。

35、智能传感器由哪些部分组成？

智能传感器的组成部分

智能传感器的组成部分包括基本常规传感器、电源/电池、通信和微处理器提供的信号处理能力。具体如下：

1. 低功耗传感器元件

通过微制造方法可制造出非常小且低功耗的传感器。微制造与互补金属氧化物半导体（CMOS）工艺兼容，可在单个基板上集成传感器的电子接口。

2. 电池或能量收集

智能传感器系统有能量考量，包括支持和运行所有组件及传感器。小型能源系统会考虑电池和能量收集选项，如使用一次电池、可充电电池。能量收集可从外部源获取、捕获和存储能量，使用压电晶体/纤维、热电发电机、太阳能电池等设备满足本地电力需求。

3. 无线通信

智能传感器系统有小型无线遥测接口和多通道无线遥测微系统，该系统有特定的封装尺寸和重量。芯片可对信号进行放大、滤波和时分复用，并通过射频链路传输到外部无线电接收器。还设计了超低功耗无线系统用于与生物系统接口以进行传感数据采集/传输。

4. A-D-A信号处理

用于处理传感器信息并传输给用户，同时接收用户对传感器操作的命令。此外，典型的智能传感器还包含用于电源管理、控制和与数字世界接口的模拟电路。

36、智能传感器的核心思想是什么？

智能传感器的核心思想是将硅微处理器与传感器技术相结合，以提供定制化输出并显著提高传感器系统的性能和能力，包括：

离散传感元件的信号检测

信号处理

数据验证/解释

信号传输/显示

多传感器功能等