质量3：六西格玛

1988年，富有创造力的欧盟官僚们在布鲁塞尔制定了欧盟第1677-88号决议。决议称，黄瓜要达到最高质量标准，其弯曲度不应超过10毫米。如果黄瓜弯曲度是11毫米，就达不到最高质量；但9毫米的可以。这个小趣闻清楚地告知我们政客们制定愚蠢法律的创造力。但更重大的是，它提醒我们，好或坏往往不像听起来得那么二元对立。一般情况下，有一个潜在参数可以测量，如几何形状、重量或者温度。这个潜在参数的测量必须与一些规范相比较，这是六西格玛（Six Sigma）的基本思想。目前我不得不承认，我觉得去本地市场买50个黄瓜，只是为了拿一把尺子来测量它的弯曲度，实在有失我的学术尊严。为了说明六西格玛的概念，我做了一些更有趣的事情。虽然这样做更甜，但可能不健康。我到本地的杂货店买了50袋M&M，然后拿出高精度秤来测量这50袋的重量。这是我得到的数据。看看这些数据。

例如，我们可以计算样本的加权平均值。这是50克，我必须承认，比公司在背面标注的（约为47）要高许多。你还可以看到标准差大约是1.1。为了直观地了解分布情况，我们可以使用Excel中的直方图分析。为此，点击数据分析，单击直方图。在“输入范围”这里输入数据。在“二进制范围”，输入一个略低于最低值和略高于最高值的数字（bins这列），然后点击ok。目前，你得到一个像这样的图表。这是加权直方图，惊讶吧，看统计定律是如何起作用的很有趣。这里的分布几乎是正态分布，大多数值在中间的平均值附近，而两端表明这袋超级轻或超级重。我们回顾一下计算中的统计分布，以确定在一个超级大的样本中会有多少缺陷。那么我们该如何定义一袋M&M是有缺陷的呢？吃完之后，我不得不承认它们都很好吃，很难说有缺陷。但为了便于讨论，假设规范说一袋至少应该装有48克巧克力，我们把这个数字称为LSL(lower specification limit)，下规定限。类似地，我们把上限数字称为USL(Upper Specification level)，上规定限，如果超过这个数字，我们就称这袋有缺陷。为了便于讨论，假设袋子里巧克力超过52克时是有缺陷的。通过这两个数字，我可以计算出一个称为能力评分(capability score)的数字。能力评分也称为CP评分，等于上下规定限之差与流程6倍标准差之比。这个数字表明流程的能力。请注意，我们提高流程能力的方法，要么是使规范更加宽容。如果假设规范是47到53，那么能力值提高；或者减小标准差，这两种方法都会减少缺陷的可能性。让我在下一张幻灯片中说明能力评分的概念。提醒一下，这是能力评分的定义：（上规定限-下规定限）/6倍标准差。

假设有两个分布，其中一个的密度函数方差稍大一些（上面的例子）。注意这里，从分布均值起经过3个标准差才会达到规范限。在下面的例子中，分布的方差较低，需要经过6个标准差才会产生缺陷。显然在下面的例子中，缺陷不太可能出现，两端次品的概率更低。这表明我们可以计算，或者我们可以将分布的能力评分转化为缺陷的概率。让我回到电子表格来说明这个计算。我们买到一袋大于52克的M&M的概率是多少？即这袋超重的概率是多少？可以用Excel中的正态分布函数，查看52克的相对概率。对于均值为50，标准差为1.1的分布，它低于这个值（52克）的概率是96%，或者说，超重的概率就是1减去这个概率，也就是3.4%。接下来问自己，这袋太小或太轻的概率是多少？对此需要看这个正态分布，这次看的是下规定限。均值50，标准差1.1，概率等于3.3%。对于缺陷（一袋过重或过轻），二者总和就是缺陷的概率。目前我可以把这个数字乘以，列如说，一百万单元，得到生产运行中称为ppm（百万分率，the parts per million）的数字。每100万个单元中有67,818个是有缺陷的。注意我们刚才在M&M的例子中看到，能力评分是0.6左右，这相当于缺陷概率约为0.067，或者换句话说，一百万个单元中有六万七千有缺陷。
这个表格显示了能力评分和缺陷概率之间的关系。例如，当能力评分为1时，从平均值起经过3σ到任意规定限，缺陷概率是0.027，换句话说，每一百万个中有2700个有缺陷。那么，这些数字是怎么来的呢？我们先来看看3σ流程，缺陷概率是多少？从均值起经过3个标准差达到规定限。假设分布是标准正态分布，均值为0，标准差为1。要求缺陷，这里输入数字3。这是正态分布，均值为0，标准差为1，值为99.865%，1减去这个概率，就得到过大的概率，这同样是过小的概率。假设分布具有对称性，把这个数翻倍就得到了之前的表格中看到的0.027。目前让我们更进一步，看看6σ流程，经过6个标准差，发现这个数字小得离谱。这里有点难以看懂，我们不要把它看成概率，而是看成一百万个单元的缺陷，把这个乘以100万，看到这个数字大致是0.002，换句话说，每十亿个单元有两个缺陷。因此，质量目标一般用缺陷的百万分率表明。在这个表格中看到，它与能力评分相匹配，这使我自问，对于一个给定的规定限，在违背质量目标之前，可以容忍的流程可变性是多少？
让我们回到M&M的例子。我们说(USL-LSL)/6σ（如果我的目标是6σ运营）就等于2。在本例中，USL和LSL之差为4，这就得到了一个可以解的方程：4/6σ=2，换句话说，σ等于1/3。为了让大家对我们的计算有信心，让我们回到Excel电子表格，将当前经验观察的标准差1.1替换为新目标：标准差1/3。重新计算所有数字，可以看到百万分率下降到0.002，也就是前面说的十亿分之二。

2009年，欧盟官员最终决定撤销1677-88号决议。这让你产生希望，或许有一天他们也能解决欧元危机。但更重大的是，我们看到差异几乎无处不在，即使是高度工业化的产品，列如袋装M&M巧克力。我们看到每袋之间有相当大的差异，但你会认为包装有缺陷，仅仅由于它多了一克巧克力吗？这是产品规范的问题。我们看到了CP评分是如何通过流程差异与规范允许的差异之比来衡量流程能力的。我们还看到，能力评分表明在一千个或一百万个单元中可能会产生多少缺陷，这是一个很好的指标，可以随时间推移来跟踪流程能力是否提升，或者衡量供应商，看看谁提供最高质量的产品。