线性矩阵不等式 (LMI)

线性矩阵不等式是控制系统、优化和许多工程领域中的一个核心工具。

1. 什么是线性矩阵不等式？

线性矩阵不等式 是指具有以下形式的不等式：

其中：

x=(x1,x2,…,xm)x = (x_1, x_2, dots, x_m)x=(x1​,x2​,…,xm​) 是我们需要求解的决策变量（一个向量）。F0,F1,…,FmF_0, F_1, dots, F_mF0​,F1​,…,Fm​ 是给定的对称矩阵。≺0prec 0≺0 表示矩阵 F(x)F(x)F(x) 是负定的。这意味着对于所有非零向量 zzz，都有 zTF(x)z<0z^T F(x) z < 0zTF(x)z<0。等价地，F(x)F(x)F(x) 的所有特征值都是负数。

“线性”的含义：
尽管我们处理的是矩阵，但“线性”指的是矩阵 F(x)F(x)F(x) 对决策变量 xix_ixi​ 的依赖关系是线性的。矩阵本身的内容随 xix_ixi​ 线性变化。

2. LMI 的一般形式和常见类型

严格 LMI：F(x)≺0F(x) prec 0F(x)≺0非严格 LMI：F(x)⪯0F(x) preceq 0F(x)⪯0（负半定）一般形式的 LMI 系统：可以同时包含多个 LMI，因为它们可以组合成一个更大的 LMI。

Lyapunov 不等式：在系统稳定性分析中非常著名。

矩阵不等式形式：有时问题会呈现为更复杂的形式，但可以通过Schur补引理将其转化为标准的 LMI。
Schur补引理：对于对称矩阵 [ABBTC]
[ABBTC]” role=”presentation”>[ABTBC][ABBTC][ABT​BC​]，以下三个条件是等价的：

[ABBTC]≻0
[ABBTC]” role=”presentation”>[ABTBC][ABBTC] succ 0[ABT​BC​]≻0C≻0C succ 0C≻0 且 A−BC−1BT≻0A – B C^{-1} B^T succ 0A−BC−1BT≻0A≻0A succ 0A≻0 且 C−BTA−1B≻0C – B^T A^{-1} B succ 0C−BTA−1B≻0
这个引理可以将非线性矩阵不等式（如涉及 A−1A^{-1}A−1 的项）转化为关于原矩阵块的线性矩阵不等式。

3. 如何求解 LMI？

LMI 问题通常不寻求“解析解”，而是通过数值方法寻找可行解（Feasible Solution）或优化解（Optimal Solution）。

核心思想：LMI 定义了一个在决策变量空间中的凸约束集。也就是说，如果 xxx 和 yyy 都满足 LMI，那么它们连线上的任何点 λx+(1−λ)ylambda x + (1-lambda)yλx+(1−λ)y (0≤λ≤1)(0 leq lambda leq 1)(0≤λ≤1) 也满足 LMI。凸性使得我们可以使用非常高效的内点法来求解。

求解流程：

问题建模：将你的工程问题（如稳定性、鲁棒控制、滤波器设计）表述为一个或多个 LMI。选择求解器：使用专门的数值求解软件。编程实现：在软件中定义决策变量、约束（LMI）和目标函数。数值求解：运行求解器。结果分析：验证解是否满足要求，并提取所需的控制器增益或系统参数。

4. 常用的求解工具（软件）

以下是业界和学术界最常用的一些工具：

1. MATLAB 的 LMI 工具箱 / Robust Control Toolbox

这是最主流的选择。

早期专用工具：
lmitool,
feasp,
mincx,
gevp 等函数。这些函数比较底层，需要用户按照特定格式定义 LMI 系统。YALMIP（强烈推荐）：一个强大的 MATLAB 建模工具箱，作为前端，可以调用多种后端求解器。它的语法非常直观易用。
示例（使用 YALMIP 求解 Lyapunov 不等式）：

% 定义已知矩阵 A
A = [0, 1; -2, -3];

% 定义决策变量：对称正定矩阵 P
P = sdpvar(2, 2, 'symmetric');

% 定义 LMI 约束
Constraints = [P >= 0]; % 正定约束
Constraints = [Constraints, A’*P + P*A <= -eye(2)]; % Lyapunov 不等式，这里用 <= -I 来保证 < 0

% 定义目标函数（对于可行性问题，目标函数可以设为常数，例如 0）
Objective = 0;

% 求解
optimize(Constraints, Objective);

% 检查求解结果并获取 P 的值
if problem == 0
    P_solution = value(P)
    eig_P = eig(P_solution) % 检查 P 是否是正定的
    eig_Lyap = eig(A’*P_solution + P_solution*A) % 检查 Lyapunov 矩阵是否是负定的
else
    disp(‘未找到可行解’);
end

CVX：另一个流行的 MATLAB 建模系统，尤其适用于凸优化，也支持 LMI。

2. Python 生态系统

Python 在科学计算和优化领域越来越强大。

CVXPY：与 MATLAB 的 CVX 类似，是 Python 下的凸优化建模工具。
示例（使用 CVXPY 求解相同的 Lyapunov 不等式）：

import cvxpy as cp
import numpy as np

# 定义已知矩阵 A
A = np.array([[0, 1], [-2, -3]])

# 定义决策变量：对称正定矩阵 P
P = cp.Variable((2, 2), symmetric=True)

# 定义约束
constraints = [P >> 0]  # 正定约束
constraints += [A.T @ P + P @ A << -np.eye(2)]  # Lyapunov 不等式

# 定义问题（可行性问题）
prob = cp.Problem(cp.Minimize(0), constraints) # 目标函数最小化 0

# 求解
prob.solve()

# 输出结果
if prob.status == ‘optimal’:
    P_solution = P.value
    print(“P found:
”, P_solution)
    # 可以进一步检查特征值
else:
    print(“Solution not found.”)

SciPy：对于小规模问题，有时可以使用
scipy.optimize.minimize 并结合自定义的约束函数（将负定性约束转化为所有特征值小于 0），但这通常不如专用的 LMI 求解器高效和稳定。

3. 专用求解器（通常被 YALMIP/CVXPY 调用）

SeDuMiSDPT3MOSEK（商业软件，性能强大）

5. 应用实例：状态反馈控制器设计

一个经典问题是寻找状态反馈控制律 u=Kxu = Kxu=Kx，使得闭环系统 x˙=(A+BK)xdot{x} = (A+BK)xx˙=(A+BK)x 稳定。
这可以转化为以下 LMI 问题：

寻找矩阵 Q≻0Q succ 0Q≻0 和 YYY，使得：

总结

对于具体问题，建议从 YALMIP 或 CVXPY 的官方文档和示例开始，它们是入门和解决实际问题的绝佳起点。