023_对角矩阵 D(λ)与其标准形 S(λ)分解后初等因子集合相同

一、前提定义

设是任意 λ- 矩阵，其Smith 标准形为

其中（为不变因子），r是的秩。

设是与等价的任意对角矩阵(对角多项式是首1多项式)：

由等价传递性，等价。

1. 初等因子定义：将不变因子（或对角元素）分解为 “首1不可约多项式的幂”，所有这些幂组成的集合称为初等因子集（记）。

二、关键推导（3 步证）

步骤 1：等价矩阵的行列式因子必一样

• 行列式因子：λ- 矩阵所有非零k阶子式的最大公因子（）。
• 核心性质：λ- 矩阵经初等变换后，行列式因子不变；等价矩阵可互变，故与的所有完全一样。

步骤 2：行列式因子一样→不变因子一样

不变因子与行列式因子的关系（唯一推导式）：

• 因与的一样，故两者的不变因子完全一样。

步骤 3：的对角元素分解→与一致

任取一个不可约多项式，分析其幂次：

1. 对的对角元素：设在中的指数为（即），将排序为。
2. 对的k阶行列式因子：其k阶子式是k个的乘积，故在中的指数为 “前k个最小之和”，即。
3. 对不变因子：由步骤 2，在中的指数为（因）。

• 结论：分解出的幂次是，分解出的是—— 作为集合，两者完全一样。
• 因是任意不可约多项式，故。

三、最终结论

与 λ- 矩阵等价的任意对角矩阵，其对角元素分解得到的初等因子集，与该矩阵 Smith 标准形的初等因子集完全一致。