λ-矩阵的等价证明

这里规定了初等因子的幂次必须大于0。

注意初等因子的构成。允许重复，但不能遗漏，包括每一个阶次矩阵的不变因子中的每一项。注意不变因子di(λ)的依次整除关系。

上图说明两个矩阵等价，除了具有一样的不变因子之外，还必须有一样的秩。

以下是两个λ-矩阵等价定理的证明：

所以A(λ), B(λ)具有一样的不变因子, 是等价的。

这个结论用到的是矩阵的smith标准型分解定理。

整个证明的过程就是，判断两个λ-矩阵是否具有一样的不变因子，如果是，再根据矩阵的smith标准型分解定理得到结论。矩阵的smith标准型可以通过初等变换得到。

至此, 可以看出, 对复方阵A来说, λI − A在等价关系之下的等价类, 相当 于A在类似关系之下的等价类。称λI − A为方阵A的特征方阵, 把λI − A的 行列式因子, 不变因子和初等因子简单的称为A的行列式因子, 不变因子和初等因子。A的所有的不变因子的乘积等于A的特征多项式。