算法复杂度与图像处理技术解析

table {
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20、我们可以通过比较封闭轮廓中每个点到其他所有点的距离，来找出N个点的封闭轮廓中的极值点（即相距最远的两个点）。a. 这种算法的复杂度是多少？b. 解释如何能更快地完成这个任务。

a. 复杂度分析：对于一个包含N个点的封闭轮廓，要找出极值点，需要将每个点与其他所有点进行距离比较。对于第一个点，需要与剩下的N – 1个点比较；对于第二个点，由于已经和第一个点比较过了，所以只需与剩下的N – 2个点比较，以此类推。总的比较次数为(N – 1)+(N – 2)+…+1。根据等差数列求和公式，其和为N×(N – 1)/2。在大O表示法中，忽略常数和低阶项，该算法的复杂度为O(N²)。

b. 更快的实现方法：可以使用旋转卡壳算法（Rotating Calipers Algorithm）。该算法的基本思想是先找到点集的凸包，因为相距最远的两个点一定在凸包上。找到凸包的时间复杂度可以达到O(N log N)。然后，在凸包上使用旋转卡壳的方法来找到最远点对。旋转卡壳算法通过在凸包上设置两个“卡壳”，并不断旋转它们，在旋转过程中计算不同卡壳位置对应的点对之间的距离，从而找到最远点对。该算法在找到凸包之后，后续操作的时间复杂度为O(N)。因此，整体的时间复杂度主要由凸包的计算决定，为O(N log N)，比直接比较每个点到其他所有点的距离的O(N²)复杂度要快。

21、在使用cv::moments()提取瓶子轮廓矩时，我们应该如何设置isBinary？解释你的答案。

在使用

cv::moments()

提取瓶子轮廓矩时，

isBinary

应根据具体情况设置。

若输入的图像是经过阈值操作的二值图像，例如阈值操作后非零像素值为 255，此时应将

isBinary

设置为

true

。

因为当

isBinary

为

true

时，所有非零像素将被视为值为 1，而不是存储在那里的实际值，这样可以确保正确计算轮廓矩，避免因非零像素的实际值影响计算结果。

若输入图像不是二值图像，而是普通图像，需要将图像值解释为“质量”，则应将

isBinary

设置为

false

。

22、cv::goodFeaturesToTrack() 中使用的协方差Hessian矩阵是在该函数中由block_size设置的图像中的某个方形区域上计算得到的。a. 从概念上讲，当block_size增大时会发生什么？我们会得到更多还是更少的“好特征”？为什么？b. 深入研究lkdemo.cpp代码，查找cv::goodFeaturesToTrack()，并尝试调整block_size来观察差异。

a. 当

block_size

增大时，我们会得到更少的“好特征”。原因如下：

cv::goodFeaturesToTrack()

函数通过计算图像中每个像素点周围方形区域（由

block_size

确定）的协方差Hessian矩阵来寻找“好特征”。“好特征”通常是那些在多个方向上具有较大灰度变化的点，也就是图像中的角点。

当

block_size

增大时，计算协方差Hessian矩阵所考虑的区域变大，这意味着该区域内的灰度变化会被平均化。原本在较小区域内可能被识别为具有明显灰度变化的角点，在较大区域内可能由于周围像素的影响，其灰度变化不再那么突出，导致该点不再满足“好特征”的条件。

因此，随着

block_size

的增大，满足“好特征”定义的点会减少，即我们会得到更少的“好特征”。

b. 要完成这部分内容，需要按照以下步骤操作：

打开

lkdemo.cpp

代码文件。

在代码中搜索

cv::goodFeaturesToTrack()

函数。

找到该函数调用时设置

block_size

参数的位置。

尝试修改

block_size

的值，例如将其增大或减小。

重新编译并运行代码，观察结果的差异。

通常，当增大

block_size

时，会发现检测到的角点数量减少；当减小

block_size

时，检测到的角点数量可能会增加。同时，还可以观察角点的分布和质量的变化。

23、考虑实现亚像素角点查找的函数cv::findCornerSubPix()。a. 如果角点发生扭曲，使得直的明暗线形成在一点相交的曲线，亚像素角点查找是否仍然有效？请解释。b. 如果扩大扭曲棋盘角点周围的窗口大小（在扩大win和zero_zone参数之后），亚像素角点查找会变得更准确还是会开始发散？请解释你的答案。

a. 亚像素角点查找可能无法正常工作。

cv::findCornerSubPix()

这类亚像素角点检测技术通常基于角点周围的梯度信息和图像强度的变化来确定角点的精确位置。其基本假设是角点周围的区域具有相对规则的强度变化，例如直的明暗线。

当角点扭曲使得直的明暗线形成曲线时，原有的基于直线边缘的梯度计算和强度变化模型就不再适用。因为这些技术依赖于直线边缘的特征来进行插值和精确位置计算，曲线边缘会导致梯度方向和强度变化变得复杂，难以准确地通过现有的算法来确定角点的亚像素位置，所以亚像素角点查找可能无法得到准确的结果。

b. 亚像素角点查找可能会开始发散。扩大窗口大小意味着算法会考虑更多的图像区域来确定角点的位置。对于扭曲的棋盘角点，其周围的图像特征已经变得复杂和不规则。

当窗口扩大时，会包含更多不规则的曲线边缘和噪声信息，这些额外的信息可能会干扰算法对真正角点位置的判断。原有的基于规则边缘的亚像素定位算法在处理这些复杂信息时会受到更多的干扰，导致计算结果偏离真实的角点位置，从而使亚像素角点查找开始发散，而不是变得更准确。

24、测试videostab.cpp并描述它是如何对视频进行稳定处理的。

`videostab.cpp`程序主要通过特征跟踪来实现视频稳定。一般来说，其工作流程如下：

1. **特征提取**：它会在视频的每一帧中提取特征点，这些特征点可以是像AKAZE、ORB、BRISK等特征描述子对应的关键点。这些特征点在视频帧中具有独特的特征，便于在不同帧之间进行匹配。

2. **特征匹配**：在相邻的视频帧之间，程序会对提取到的特征点进行匹配，找到不同帧中对应的特征点。通过这种匹配，可以确定相邻帧之间的运动关系。

3. **运动估计**：基于特征点的匹配结果，程序会估计出相邻帧之间的运动参数，例如平移、旋转、缩放等。这些运动参数描述了视频帧之间的相对运动情况。

4. **运动补偿**：根据估计得到的运动参数，程序会对视频帧进行相应的变换，以消除帧与帧之间不必要的抖动和晃动。通过对每一帧进行适当的运动补偿，使得整个视频序列看起来更加稳定。

综上所述，`videostab.cpp`通过特征提取、匹配、运动估计和运动补偿等步骤，利用视频帧之间的特征信息来实现视频的稳定处理。

25、编译lkdemo.cpp程序。设置一个网络摄像头来观察纹理丰富的物体（或者使用之前捕获的纹理移动对象序列）。在运行程序时，按下’r’可自动初始化跟踪，按下’c’可清除跟踪，鼠标点击会输入一个新点或关闭一个旧点。运行lkdemo.cpp程序，并通过输入’r’来初始化点跟踪，观察效果。a. 现在进入代码并移除亚像素点放置函数cv::findCornerSubPix()。这会对结果产生不良影响吗？以何种方式产生影响？b. 再次进入代码，用在物体周围的感兴趣区域（ROI）中放置一个点网格来代替cv::goodFeaturesToTrack()。描述这些点会发生什么情况以及原因。提示：部分情况是孔径问题的结果 —— 给定一个固定的窗口大小和一条线，我们无法判断这条线是如何移动的。

a. 移除

cv::findCornerSubPix()

的影响

cv::findCornerSubPix()

函数的作用是在亚像素级别上精确地定位角点。当移除这个函数后，可能会对结果产生不良影响，具体表现如下：

跟踪精度降低

：

没有亚像素级别的定位，角点的位置只能在像素级别上确定，这会导致角点位置的精度下降。在跟踪过程中，由于初始角点位置不够精确，后续的跟踪也会受到影响，使得跟踪的点可能会出现偏移，不能准确地跟随物体的移动。

跟踪稳定性变差

：

亚像素级别的定位可以使角点位置更加稳定。移除该函数后，角点位置的微小误差可能会在跟踪过程中不断累积，导致跟踪的点在物体移动过程中出现抖动，甚至可能会丢失跟踪目标。

b. 用点网格代替

cv::goodFeaturesToTrack()

的情况及原因

cv::goodFeaturesToTrack()

函数的作用是在图像中寻找具有良好特征的角点，这些点通常具有较高的对比度和独特性，适合用于跟踪。当用在物体周围的感兴趣区域（ROI）中放置一个点网格来代替该函数时，会出现以下情况：

部分点跟踪效果差

：

在点网格中，有些点可能位于图像中纹理不丰富的区域，例如平坦区域或均匀颜色区域。这些点缺乏足够的特征信息，难以被准确跟踪。在跟踪过程中，这些点可能会出现漂移或丢失的情况。

孔径问题导致的不确定性

：

由于存在孔径问题，给定一个固定的窗口大小和一条线，我们无法判断这条线是如何移动的。在点网格中，有些点可能位于直线或边缘上，当使用固定大小的窗口进行跟踪时，窗口内的信息无法提供足够的线索来确定这些点的真实运动方向。因此，这些点的跟踪结果会具有不确定性，可能会出现错误的跟踪方向。

整体跟踪效果不佳

：

由于点网格中的点没有经过筛选，包含了很多不适合跟踪的点，导致整体的跟踪效果不如使用

cv::goodFeaturesToTrack()

函数选择的点。在物体移动过程中，可能会有大量的点丢失或跟踪错误，使得跟踪结果不稳定，难以准确地反映物体的运动。

26、卡尔曼滤波器依赖于线性动态和马尔可夫独立性（即它假设当前状态仅取决于上一个状态，而不是所有过去的状态）。假设你想跟踪一个物体，其运动与它的先前位置和先前速度有关，但你错误地只包含了状态依赖于先前位置的动态项——换句话说，忘记了先前速度项。a. 卡尔曼假设是否仍然成立？如果成立，请解释原因；如果不成立，请解释假设是如何被违反的。b. 当你忘记了动态的某些项时，如何让卡尔曼滤波器仍然能够进行跟踪？提示：考虑噪声模型。

a. 卡尔曼假设不再成立。卡尔曼滤波器的假设要求准确描述系统的动态特性，并且当前状态仅依赖于上一个状态。

在本题中，物体的运动实际上与

先前位置

和

先前速度

都有关，但在建模时只考虑了先前位置，忽略了先前速度这一重要因素。这就导致所构建的模型不能准确反映系统的真实动态，违反了卡尔曼滤波器关于准确描述系统动态的假设。

因为当前状态的估计应该基于完整的上一个状态信息，而这里上一个状态信息不完整，所以当前状态与上一个状态的关系不能按照卡尔曼滤波器所假设的那样准确建立。

b. 当忘记了动态的某些项时，可以通过调整噪声模型来让卡尔曼滤波器仍然能够进行跟踪。

由于遗漏了一些动态项，系统模型变得不准确，这会导致估计误差增大。可以将这些被遗漏的动态项的影响看作是额外的噪声。

通过增大

过程噪声协方差矩阵

的值，能够让滤波器更加灵活地适应模型的不准确性。较大的过程噪声协方差意味着滤波器认为系统中存在更多的不确定性，这样在更新状态估计时，会更多地考虑新的测量值，从而在一定程度上弥补由于遗漏动态项而导致的模型偏差，使滤波器仍然能够对物体进行跟踪。

27、如果你只有一把尺子，你如何确定相机的焦距？假设相机的畸变可以忽略不计，并且主点是图像的中心。

可以利用相似三角形原理来确定相机焦距。具体步骤如下：

选择一个已知尺寸的物体，用尺子测量该物体的实际长度 $ L_{ ext{real}} $。

将相机固定，把该物体放置在相机前方，用尺子测量物体到相机镜头的距离 $ d $。

用相机拍摄该物体的图像，通过测量图像上物体的长度 $ L_{ ext{image}} $。

根据相似三角形的比例关系：

$$

frac{f}{d} = frac{L_{ ext{image}}}{L_{ ext{real}}}

$$

（其中 $ f $ 为相机焦距）

可以推导出：

f=d×LimageLrealf=d×LimageLreal

进而计算出相机的焦距 $ f $。

28、仿射和投影（透视投影）变换：一部分构成旋转、缩放和扭曲矩阵，并组成仿射变换。一部分构成一个(x, y)平移向量，一部分构成透视投影向量，它们共同组成完整的透视投影矩阵。a. 想象一台相机正对着一个棋盘。哪些相机移动可以同时用仿射变换和透视投影变换来建模？b. 平面上多少个点可以定义一个仿射变换？多少个点可以定义一个透视投影变换？c. 在仿射投影中：直线是否仍然是直线？直线的长度是否保持不变？平行线是否仍然平行？如果在原始图像中有两条直线相交，经过仿射投影后它们是否总是相交？d. 在透视投影中：直线是否仍然是直线？直线的长度是否保持不变？平行线是否仍然平行？如果在原始图像中有两条直线相交，经过透视投影后它们是否总是相交？

a. 相机的平移和旋转运动可以同时用仿射变换和透视投影变换来建模。平移运动可以通过仿射变换中的平移向量以及透视投影矩阵中的相应部分来表示；旋转运动可以由仿射变换中的旋转矩阵部分以及透视投影矩阵共同来模拟。

b. 平面上3个不共线的点可以定义一个仿射变换。因为仿射变换有6个自由度（2个平移参数、2个旋转/缩放参数、2个扭曲参数），3个不共线的点能提供6个约束条件来确定这些参数。平面上4个不共线的点可以定义一个透视投影变换。透视投影变换有8个自由度，4个不共线的点能提供8个约束条件来确定透视投影矩阵的参数。

c. 在仿射投影中：

- 直线仍然是直线。仿射变换是线性变换和平移的组合，线性变换会保持直线的线性性质，平移也不会改变直线的本质，所以直线在仿射投影后还是直线。
- 直线的长度通常不会保持不变。仿射变换包含旋转、缩放和扭曲等操作，缩放和扭曲会改变直线的长度。
- 平行线仍然平行。仿射变换是一种线性变换，它会保持向量的线性组合关系，所以平行线在仿射变换后仍然平行。
- 如果在原始图像中有两条直线相交，经过仿射投影后它们总是相交。因为仿射变换是一一对应的映射，且保持直线的相交关系。

d. 在透视投影中：

- 直线仍然是直线。透视投影是一种投影变换，它会将三维空间中的直线投影到二维平面上，仍然保持直线的形状。
- 直线的长度通常不会保持不变。透视投影会产生近大远小的效果，不同位置的直线投影后长度会发生变化。
- 平行线通常不再平行。透视投影会模拟人眼的视觉效果，在现实中，原本平行的铁轨在远处看起来会相交，所以平行线在透视投影后通常不再平行。
- 如果在原始图像中有两条直线相交，经过透视投影后它们通常仍然相交。但在特殊情况下，当两条相交直线的交点位于无穷远处（即平行线），经过透视投影后可能会在有限的图像平面上表现出相交或者趋近于相交的情况。

29、在一个场景中，相机位于平面上方并沿平面水平向外看，发现地面平面的单应性有一条地平线，在地平线之外单应性无效。无限平面怎么会有地平线呢？为什么它看起来不是永远延伸下去呢？提示：画一些线连接相机和平面上远离相机的等间距点列。相机到平面上每个下一个点的角度与到前一个点的角度相比是如何变化的？

虽然平面在理论上是无限的，但由于视角的原因，会出现

地平线

。

当我们从相机向平面上远离相机的等间距点列画连线时，随着点逐渐远离相机，相机到每个下一个点的角度变化会越来越小。当距离足够远时，这些角度变化趋近于零，从视觉上看，这些点似乎汇聚到了一条线上，这条线就是

地平线

。

在这条线之外，由于角度变化极小，图像中的信息变得模糊且难以准确映射，所以

单应性

就不再有效，因此看起来平面不是永远延伸下去，而是有了一个边界（地平线）。

30、如果每个数据点中的特征在尺度上差异很大（例如，第一个特征的取值范围是1到100，第二个特征的取值范围是0.0001到0.0002），请解释这是否会对以下情况造成问题以及原因：a. 支持向量机（SVM）b. 决策树 c. 反向传播

a.

SVM

：会造成问题。

SVM通常依赖于特征之间的距离来进行分类决策，当特征尺度差异很大时，尺度大的特征会在距离计算中占据主导地位，从而影响模型的训练和分类效果，导致模型偏向于尺度大的特征，而忽略尺度小的特征的信息。

b.

决策树

：不会造成问题。

因为决策树在构建过程中，每个变量只是被搜索寻找有效的分割阈值，只要能找到清晰的分割值，变量的取值范围大小并不影响决策树的构建和决策过程。

c.

反向传播

：会造成问题。

反向传播算法通常用于神经网络的训练，在训练过程中，特征尺度差异大会导致梯度在不同特征上的更新幅度差异很大，尺度大的特征对应的权重更新可能会过快，而尺度小的特征对应的权重更新可能会过慢，使得模型难以收敛到最优解，影响训练效率和模型性能。

31、消除特征间尺度差异的一种方法是对数据进行归一化。有两种归一化方法，一种是将每个特征除以其标准差，另一种是将每个特征除以其最大值与最小值的差值。针对每种归一化方法，分别描述一组适用的数据和一组不适用的数据。

除以标准差的归一化方法（标准化）

适用的数据

当数据近似服从正态分布时，这种方法效果较好。例如，在测量大量成年人身高和体重的数据集中，身高和体重通常会近似服从正态分布。在这个数据集中，身高可能在140 – 220厘米之间变化，体重可能在40 – 150千克之间变化，两者的尺度差异较大。通过将每个特征除以其标准差进行标准化后，数据会具有零均值和单位方差，这样可以使不同特征在机器学习算法中具有相同的重要性，避免某些特征因为尺度大而对模型产生过大的影响。

不适用的数据

当数据存在离群值时，这种方法不太适用。例如，在一个记录城市房价的数据集中，大部分房子的价格可能在几十万到几百万之间，但可能存在少数豪华别墅的价格高达数亿。这些离群值会极大地影响标准差的计算，使得标准化后的数据不能很好地反映数据的真实分布。因为离群值会使标准差变大，从而导致其他正常数据点在标准化后变得非常小，可能会掩盖数据的真实特征。

除以最大值与最小值差值的归一化方法（归一化到[0, 1]区间）

适用的数据

当数据分布在一个有限的区间内，并且我们希望将数据缩放到[0, 1]区间时，这种方法效果较好。例如，在图像数据处理中，图像的像素值通常在0 – 255之间。通过将每个像素值除以255（最大值 – 最小值），可以将所有像素值归一化到[0, 1]区间，这样可以方便后续的图像处理和机器学习算法的处理。

不适用的数据

当数据存在新的未知值超出了原始数据的最大值和最小值范围时，这种方法会出现问题。例如，在一个记录股票价格的数据集中，我们根据历史数据计算出了最大值和最小值，并进行了归一化处理。但如果未来股票价格出现了极端情况，超出了历史数据的最大值或最小值，那么新的数据点在归一化时就会出现异常。因为这种方法是基于固定的最大值和最小值进行归一化的，无法适应新的超出范围的值。

32、已知存在“假”类和“真”类的分布情况，并且有几个可以设置阈值的潜在位置（a、b、c、d、e、f、g）。a. 在ROC曲线上绘制点a – g。b. 如果“真”类是有毒蘑菇，你会在哪个字母处设置阈值？c. 决策树将如何分割这些数据？

a. 要在ROC曲线上绘制点a - g，需要理解ROC曲线的原理。ROC曲线以假阳性率（FPR）为横轴，真阳性率（TPR）为纵轴。对于每个阈值位置（a - g），计算相应的TPR和FPR。不同的阈值会导致不同的分类结果，从而产生不同的TPR和FPR值。例如，当阈值设置在某个位置时，计算被正确分类为“真”类的样本比例（TPR）和被错误分类为“真”类的样本比例（FPR），然后将对应的（FPR, TPR）点绘制在ROC曲线上。

b. 如果“真”类是有毒蘑菇，我们希望尽可能避免将有毒蘑菇误判为可食用蘑菇（即减少假阳性）。因此，应该选择一个能使假阳性率尽可能低的阈值。通常，更偏向于将“真”类分布一侧的阈值会更合适，可能是更靠近右侧的阈值点，比如g点。因为这样可以保证大部分有毒蘑菇都能被正确识别出来，虽然可能会有更多的可食用蘑菇被误判为有毒蘑菇（增加了假阴性），但这是可以接受的，因为避免了食用有毒蘑菇的风险。

c. 决策树分割这些数据的方式如下：决策树会尝试找到一个最佳的分割点，使得分割后的子集在“真”类和“假”类的区分上更加清晰。它会遍历所有可能的特征值（这里可能是与蘑菇相关的特征，如颜色、形状等）和阈值，计算每个分割的纯度指标（如基尼不纯度或信息增益）。选择能使纯度指标最优的分割点作为当前节点的分割条件。例如，可能会根据某个特征（如蘑菇的颜色深浅），找到一个合适的颜色值作为阈值，将数据分割成两个子集，一个子集包含颜色较深的蘑菇，另一个子集包含颜色较浅的蘑菇。然后对每个子集继续重复上述过程，直到满足停止条件（如子集的样本数小于某个阈值或纯度达到一定程度）。

33、a. 画出决策树如何通过三次分割来近似真实曲线（这里我们寻求的是回归模型，而非分类模型）。b. 画出决策树如何通过七次分割来拟合真实数据。c. 画出决策树如何通过七次分割来拟合有噪声的数据。d. 从过拟合的角度讨论 (b) 和 (c) 之间的差异。

a. 三次分割近似真实曲线

由于是回归模型，每次分割后取叶子节点中数据值的平均值作为该区域的输出值，决策树的输出值会呈现出阶梯状。具体画图时，选择合适的分割点进行三次分割，每次分割后计算对应叶子节点数据的平均值，用水平线段来表示每个分割区域的近似值，最终形成一个由三段水平线段组成的阶梯状图形来近似真实曲线。

b. 七次分割拟合真实数据

同样依据回归模型的规则，在真实数据上进行七次分割。每次分割后计算叶子节点数据的平均值，用水平线段表示每个分割区域的拟合值，最终得到一个由七段水平线段组成的阶梯状图形来拟合真实数据。随着分割次数的增加，这个阶梯状图形会更接近真实曲线。

c. 七次分割拟合有噪声的数据

对于有噪声的数据，也是进行七次分割。但由于数据中存在噪声，分割后得到的叶子节点数据平均值会受到噪声的影响。在画图时，同样用水平线段表示每个分割区域的拟合值，形成一个由七段水平线段组成的阶梯状图形。不过，由于噪声的存在，这个图形可能会比拟合真实数据时更加曲折，对数据的局部变化拟合得更精细。

d. 从过拟合角度讨论 (b) 和 (c) 的差异

过拟合的概念

：过拟合是指模型在训练数据上表现得过于良好，以至于捕捉到了数据中的噪声和随机波动，而不是数据的真实模式，导致模型在新数据上的泛化能力变差。

(b) 拟合真实数据

：当用七次分割拟合真实数据时，决策树通过分割尽量捕捉真实曲线的特征。由于真实数据本身没有噪声干扰，七次分割得到的模型是在合理地对真实曲线进行近似，虽然分割次数较多，但仍然是在学习数据的真实模式，一般不会出现过拟合的情况，模型在新数据上的泛化能力相对较好。

(c) 拟合有噪声的数据

：在拟合有噪声的数据时，七次分割可能会使决策树过于关注数据中的噪声和局部波动。因为噪声是随机的，不代表数据的真实模式，模型为了降低训练数据上的误差，会对这些噪声进行拟合，导致模型过于复杂。这样的模型在训练数据上可能表现得很好，但在新数据上，由于新数据中的噪声模式与训练数据不同，模型的泛化能力会很差，出现过拟合现象。所以，与 (b) 相比，(c) 更容易出现过拟合问题。

34、假设存在两个二维空间，一个空间中特征变量方差不等，另一个空间中特征变量方差相等。这些空间中的数据与分类问题相关，即一个“数据团”附近的数据属于两个类别中的一个，而另一个数据团附近的数据属于这两个类别中的同一个或另一个类别。对于以下算法，方差不等空间和方差相等空间的变量重要性会不同吗？a. 决策树；b. k近邻算法；c. 朴素贝叶斯算法。

a.

决策树

：决策树不受特征变量方差差异的影响，因为每个变量仅用于搜索有效的分割阈值。换句话说，只要能找到清晰的分割值，变量的范围大小无关紧要。所以对于决策树，方差不等空间和方差相等空间的变量重要性不会不同。

b.

k近邻算法

：k近邻算法基于距离度量来进行分类，方差不等可能会导致不同特征对距离计算的影响程度不同。在方差不等的空间中，方差大的特征可能在距离计算中占据主导地位，从而影响变量重要性；而在方差相等的空间中，各特征对距离计算的影响相对均衡。因此，k近邻算法在方差不等空间和方差相等空间的变量重要性可能不同。

c.

朴素贝叶斯算法

：朴素贝叶斯算法假设特征之间相互独立，并且通常基于特征的概率分布进行分类。方差的变化可能会影响特征的概率分布，在方差不等的空间和方差相等的空间中，特征的概率分布可能不同，进而可能导致变量重要性不同。所以朴素贝叶斯算法在方差不等空间和方差相等空间的变量重要性可能不同。

35、随机树算法在哪些方面比决策树更能有效抵抗过拟合？

随机树算法在以下方面比决策树更能抵抗过拟合：

集成多棵树

：

决策树往往是高方差分类器，会近乎完美地学习训练数据，容易过拟合。而随机树通过平均多棵这样的树来平衡高方差，减少过拟合的风险。

随机选择特征子集

：

随机树在每个节点随机选择总特征的不同子集，使得每棵树不同（统计独立）。例如在对象识别树中有多种潜在特征，每个节点从随机子集中选择特征来确定数据的最佳分割，后续节点又会有新的随机特征子集，避免了所有树都相似而导致的过拟合。

采用袋外数据验证

：

随机树使用袋外（OOB）度量来验证分割。在任何给定节点，训练在随机有放回选择的新数据子集上进行，未被选中的数据即袋外数据用于估计分割的性能，通常袋外数据约占所有数据点的三分之一，以此提高模型的鲁棒性，减少过拟合。

36、“没有免费的午餐”定理表明，没有一种分类器在所有带标签数据的分布上都是最优的。a. 描述一种带标签的数据分布，使得常见的分类器在该分布上都不能很好地工作。b. 什么样的分布对于朴素贝叶斯来说很难学习？c. 什么样的分布对于决策树来说很难学习？d. 如何对b和c部分中的分布进行预处理，以便分类器能够更容易地从数据中学习？

a. 一种非常复杂和不规则的数据分布可能使得常见的分类器都不能很好地工作。例如，数据呈现出高度非线性、非平稳且具有大量重叠区域以及噪声的分布。想象一个数据分布，其中不同类别的样本以一种极其复杂的模式相互交织，没有明显的边界或规律，而且数据中还包含大量随机噪声。在这种情况下，无论是简单的分类器如朴素贝叶斯，还是复杂的分类器如随机树或支持向量机，都难以准确地对数据进行分类。

b. 朴素贝叶斯假设特征之间是相互独立的。因此，当数据分布中特征之间存在高度的相关性时，朴素贝叶斯就很难学习。

例如，在一个医学诊断数据集中，某些症状之间可能存在很强的关联性（如咳嗽和发热可能同时出现是因为某种疾病），如果使用朴素贝叶斯对这样的数据进行分类，由于它假设特征独立，就可能会忽略这些特征之间的关联信息，从而导致分类效果不佳。另外，当数据分布具有复杂的条件概率结构，即特征的条件概率不是简单的线性或正态分布时，朴素贝叶斯也难以准确建模。

c. 决策树在处理连续特征和高维数据时可能会遇到困难。对于连续特征，如果数据分布中连续特征的值变化非常平滑且没有明显的分割点，决策树很难找到合适的分割规则来区分不同的类别。

例如，在一个预测股票价格走势的数据集里，股票的各种技术指标（如成交量、价格波动等）是连续变化的，而且这些变化可能没有明显的阈值可以用来划分涨跌类别。此外，当数据分布具有高维度且特征之间存在复杂的交互作用时，决策树可能会构建出非常庞大和复杂的树结构，容易导致过拟合，并且难以捕捉到真正重要的特征和模式。

d. 对于b中难以让朴素贝叶斯学习的分布，可以进行以下预处理：

特征选择

：通过相关性分析等方法，选择那些相互独立或者相关性较低的特征，减少特征之间的依赖关系。例如，使用皮尔逊相关系数来衡量特征之间的相关性，去除相关性较高的特征。

特征变换

：对特征进行变换，使其更符合朴素贝叶斯的假设。例如，可以对特征进行标准化处理，将其转换为均值为0、方差为1的正态分布，这样可以在一定程度上减少特征之间的复杂关系。

对于c中难以让决策树学习的分布，可以进行以下预处理：

离散化

：对于连续特征，将其离散化，将连续的值划分为若干个区间，这样可以为决策树提供更明确的分割点。例如，可以使用等宽离散化或等频离散化方法。

降维

：使用主成分分析（PCA）等方法对高维数据进行降维，减少特征的数量，同时保留数据的主要信息。这样可以降低决策树的复杂度，减少过拟合的风险。