概率计算与金融模拟编程实践

table {
border-collapse: collapse;
width: 100%;
margin-bottom: 1rem;
}
th, td {
border: 1px solid #ddd;
padding: 8px;
text-align: left;
}
th {
background-color: #f2f2f2;
}
tr:nth-child(even) {
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}
pre {
background-color: #f8f8f8;
padding: 15px;
border-radius: 4px;
overflow-x: auto;
}

54、从标有1到10的10个球中取出标有1、2、3和4的球的概率是多少？使用两种方法：a. 使用公式。b. 编写一个程序来生成多组随机数进行模拟计算。

方法a：使用公式

从10个球中取出4个球的组合数可以用组合公式 $C(n,k)=frac{n!}{k!(n – k)!}$ 来计算，其中 $n = 10$，$k = 4$。而取出特定的1、2、3、4这4个球只有1种情况。

组合数 $C(10,4)=frac{10!}{4!(10 – 4)!}=frac{10 imes9 imes8 imes7}{4 imes3 imes2 imes1}=210$。所以取出1、2、3、4这4个球的概率 $P=frac{1}{C(10,4)}=frac{1}{210}$。

方法b：编写程序生成多组随机数进行模拟计算

以下是使用Python实现的代码：


import random
# 模拟次数
num_simulations = 1000000
# 成功次数
success_count = 0
for _ in range(num_simulations):
    # 从1到10中随机选择4个球
    selected_balls = random.sample(range(1, 11), 4)
    # 检查是否是1、2、3、4
    if sorted(selected_balls) == [1, 2, 3, 4]:
        success_count += 1
# 计算概率
probability = success_count / num_simulations
print(f'模拟得到的概率: {probability}')

在上述代码中，我们进行了1000000次模拟，每次从1到10中随机选择4个球，然后检查选择的球是否是1、2、3、4。最后计算成功的次数占总模拟次数的比例，得到模拟的概率。需要注意的是，模拟得到的概率是近似值，模拟次数越多，结果越接近真实概率 $frac{1}{210}$。

55、编写一个程序，根据超级百万彩票游戏规则生成1.76亿组组合，计算中白色球为(1, 2, 3, 4, 5)且红色球为(1)的概率。超级百万彩票游戏规则是从1 – 70中选5个不重复的白色球号码，从1 – 25中选1个红色球号码。

以下是一个Python程序来解决这个问题。


import itertools
import random

# 白色球范围
white_balls = list(range(1, 71))

# 红色球范围
red_balls = list(range(1, 26))

# 目标组合
winning_white = [1, 2, 3, 4, 5]
winning_red = 1

# 生成1.76亿组组合
num_combinations = 176000000
win_count = 0

for _ in range(num_combinations):
    # 随机选择5个不重复的白色球
    selected_white = sorted(random.sample(white_balls, 5))
    # 随机选择1个红色球
    selected_red = random.choice(red_balls)
    if selected_white == winning_white and selected_red == winning_red:
        win_count += 1

# 计算中奖概率
probability = win_count / num_combinations
print(f'中(1, 2, 3, 4, 5)和(1)的概率是: {probability}')

代码解释：

首先，定义了白色球和红色球的范围。

设定目标中奖组合

winning_white
和

winning_red
。

使用

for
循环生成1.76亿组组合。对于每组组合，使用

random.sample
从白色球中随机选择5个不重复的号码，并使用

random.choice
从红色球中随机选择1个号码。

检查当前组合是否与目标中奖组合匹配，如果匹配则增加中奖计数器

win_count
。

最后，计算中奖概率，即中奖次数除以总组合数。

56、在强力球游戏中，我们从编号为1到59的59个白色球中选取5个白色球，从编号为1到39的39个红色球中选取1个红色球。编写一个程序来随机选择这6个球。

以下是一个Python程序来实现随机选择强力球游戏中的6个球：


import random
# 从1到59中随机选择5个不重复的白色球
white_balls = random.sample(range(1, 60), 5)
# 从1到39中随机选择1个红色球
red_ball = random.randint(1, 39)
# 输出结果
print(white_balls, red_ball)

这个程序使用

random.sample
函数从1到59的范围中随机选择5个不重复的数字作为白色球，使用

random.randint
函数从1到39的范围中随机选择1个数字作为红色球，最后将结果输出。

57、从20只股票中选取7只股票，选中前7只股票的概率是多少？使用模拟方法来验证你的结果。

以下是解决该问题的Python代码示例：


import numpy as np

# 模拟次数
num_simulations = 1000000
# 成功次数
success_count = 0

for _ in range(num_simulations):
    # 从20只股票中随机选取7只
    selected_stocks = np.random.choice(20, 7, replace=False)
    # 检查选中的股票是否是前7只
    if set(selected_stocks) == set(range(7)):
        success_count += 1

# 计算概率
probability = success_count / num_simulations
print(f'模拟得到的选中前7只股票的概率: {probability}')

# 理论计算概率
from math import comb

# 从20只中选7只的组合数
total_combinations = comb(20, 7)
# 选中前7只的组合数只有1种
probability_theoretical = 1 / total_combinations
print(f'理论上选中前7只股票的概率: {probability_theoretical}')

代码解释：

模拟部分

：

– 设定模拟次数

num_simulations
为 1000000 次。

– 在每次模拟中，使用

np.random.choice
函数从 20 只股票中随机选取 7 只，且不允许重复选取。

– 检查选中的股票集合是否等于前 7 只股票的集合，如果相等则成功次数

success_count
加 1。

– 最后计算模拟得到的概率，即成功次数除以模拟次数。

理论计算部分

：

– 使用

math.comb
函数计算从 20 只股票中选取 7 只股票的组合数

total_combinations
。

– 因为选中前 7 只股票的组合只有 1 种，所以理论概率为 1 除以总组合数。

通过比较模拟得到的概率和理论概率，可以验证模拟结果的正确性。

58、为什么债券的信用风险可能与其所属公司的信用评级不同？

债券的信用评级不同于其所属公司的信用评级，因为债券的信用评级取决于其到期期限和某些特征，如是否可赎回或可回售。

而公司的信用评级不受这些债券特定因素的影响，所以债券的信用风险可能与其公司的信用评级不同。

59、信用利差的定义是什么？为什么它有用？

信用利差的定义是债券收益率与基准收益率（无风险利率）之间的差异，它反映了债券的信用风险或违约风险。

它的用处在于，在分析公司或债券的信用价值时，信用利差是一种可用于评估信用风险的工具。

例如，在估算AA级债券两年后息票支付的现值时，贴现率（收益率）将是无风险收益率（国债收益率）加上相应的利差。

60、Altman’s Z – score中X1、X2、X3、X4和X5的定义是什么？解释为什么Z – score越高，破产概率越低。

Altman’s Z-score 中各变量定义

Altman’s Z-score 通过以下五个财务比率进行计算：

X1

：营运资本与总资产的比率

$$

ext{X1} = frac{ ext{Working Capital}}{ ext{Total Assets}}

$$

X2

：留存收益与总资产的比率

$$

ext{X2} = frac{ ext{Retained Earnings}}{ ext{Total Assets}}

$$

X3

：息税前利润（EBIT）与总资产的比率

X3=EBITTotal AssetsX3=EBITTotal Assets

X4

：股权市场价值与总负债的比率

X4=Market Value of EquityTotal LiabilitiesX4=Market Value of EquityTotal Liabilities

X5

：净销售额与总资产的比率

X5=Net SalesTotal AssetsX5=Net SalesTotal Assets

Z-score 是基于公司资产负债表和损益表的这五个比率的加权平均值。

各比率的意义

X1较高

：表示营运资本相对总资产较多，公司短期偿债能力和运营活力较好。

X2较高

：表示留存收益相对总资产较多，公司积累的利润较多，财务稳定性好。

X3较高

：表示息税前利润相对总资产较多，反映公司盈利能力强。

X4较高

：表示股权市场价值相对总负债较高，公司财务状况较为健康。

X5较高

：表示净销售额与总资产的比例大，公司销售能力和资产利用效率高。

综合判断

当这些比率都处于较好水平时，说明公司的经营状况和财务状况良好，因此破产的可能性较低。因此，

Z-score 越高，破产概率越低

。

61、信用评级和违约概率之间有什么关系？

评级和违约呈负相关。评级越高，违约概率越低。

例如：

穆迪评级

：

Aaa级的公司债券违约概率为0.52%

Aa级的公司债券违约概率为0.52%

A级的公司债券违约概率为1.29%

随着评级降低，违约概率逐渐升高。

标准普尔评级

：

Aaa/AAA级公司债券违约概率为0.60%

Aa/AA级为1.50%

A/A级为2.91%

以上规律表明，不同评级机构的评级结果均显示出评级与违约概率之间的负相关关系。

62、编写一个Python程序来插补缺失的利差，Python数据集可以从http://canisius.edu/~yany/python/creditSpread2014.p下载。假设数据集的列名是年份，索引是评级，需要插补从第11年到第29年的利差。


# Python程序示例：插补缺失的利差

以下是一个Python程序示例，用于插补缺失的利差。这里假设使用`pandas`和`numpy`库进行数据处理和插值操作。首先，我们需要从指定的URL下载数据集，然后进行插值计算。

```python
import pandas as pd
import numpy as np
from urllib.request import urlopen

# 从URL下载数据集
url = 'http://canisius.edu/~yany/python/creditSpread2014.p'
with urlopen(url) as f:
    data = f.read()
    with open('creditSpread2014.p', 'wb') as local_file:
        local_file.write(data)

# 读取数据集
spread = pd.read_pickle('creditSpread2014.p')

# 假设数据集的列名是年份，索引是评级

# 找到需要插值的年份范围（11到29年）
start_year = 11
end_year = 29

# 获取现有的年份列
existing_years = spread.columns.astype(int)

# 生成需要插值的年份列表
interpolation_years = np.arange(start_year, end_year + 1)

# 遍历每一行（每个评级）进行插值
for index, row in spread.iterrows():
    # 进行线性插值
    interpolated_values = np.interp(interpolation_years, existing_years, row)
    # 将插值结果添加到数据集中
    for year, value in zip(interpolation_years, interpolated_values):
        spread.at[index, str(year)] = value

# 输出插值后的数据集
print(spread)

代码解释：

下载数据集

：使用

urllib.request.urlopen
从指定的URL下载数据集，并将其保存到本地文件。

读取数据集

：使用

pandas.read_pickle
读取本地的数据集。

确定插值范围

：确定需要插值的年份范围（从第11年到第29年）。

获取现有年份列

：获取数据集中现有的年份列。

生成插值年份列表

：生成需要插值的年份列表。

遍历每一行进行插值

：使用

np.interp
进行线性插值，并将插值结果添加到数据集中。

输出插值后的数据集

：打印插值后的数据集。

请注意，上述代码假设数据集的列名是年份，索引是评级。如果数据集的结构不同，需要相应地调整代码。



##63、编写一个Python程序，基于算术平均值对亚式平均价格看跌期权进行定价。
```markdown
# 基于算术平均值的亚式平均价格看跌期权定价

以下是一个基于算术平均值对亚式平均价格看跌期权进行定价的 Python 程序示例，这里使用蒙特卡罗模拟方法。蒙特卡罗模拟是一种通过随机抽样来估计期权价格的常用方法。

以下是示例代码：

```python
import numpy as np
from scipy.stats import norm

# 定义参数
S0 = 100  # 初始股票价格
K = 105  # 行权价格
r = 0.05  # 无风险利率
sigma = 0.2  # 股票波动率
T = 1  # 到期时间（年）
N = 252  # 一年中的交易日数量
M = 10000  # 模拟路径数量

# 生成模拟路径
dt = T / N
paths = np.zeros((M, N + 1))
paths[:, 0] = S0

for i in range(M):
    for j in range(N):
        z = np.random.standard_normal()
        paths[i, j + 1] = paths[i, j] * np.exp((r - 0.5 * sigma**2) * dt + sigma * np.sqrt(dt) * z)

# 计算算术平均值
arithmetic_averages = np.mean(paths[:, 1:], axis=1)

# 计算看跌期权的收益
payoffs = np.maximum(K - arithmetic_averages, 0)

# 计算期权价格
option_price = np.exp(-r * T) * np.mean(payoffs)
print(f'基于算术平均值的亚式平均价格看跌期权价格: {option_price}')

代码解释

参数定义

：定义了初始股票价格

S0
、行权价格

K
、无风险利率

r
、股票波动率

sigma
、到期时间

T
、一年中的交易日数量

N
和模拟路径数量

M
。

生成模拟路径

：使用几何布朗运动模型生成

M
条模拟路径，每条路径包含

N + 1
个时间点的股票价格。

计算算术平均值

：对每条模拟路径上的股票价格计算算术平均值。

计算看跌期权的收益

：根据算术平均值和行权价格计算看跌期权的收益。

计算期权价格

：对所有模拟路径的收益取平均值，并进行贴现，得到期权价格。

注意事项

此程序使用蒙特卡罗模拟方法，模拟路径数量

M
越大，估计结果越准确，但计算时间也会越长。

代码中的参数可以根据实际情况进行调整。



##64、编写一个Python程序，基于几何平均值对亚式平均价格看跌期权进行定价。
```markdown
# 基于几何平均值的亚式平均价格看跌期权定价

以下是一个基于几何平均值对亚式平均价格看跌期权进行定价的Python程序示例，这里使用蒙特卡罗模拟方法。亚式期权的收益取决于标的资产在一段时间内的平均价格。对于亚式平均价格看跌期权，其收益为执行价格与标的资产在期权有效期内几何平均价格之差的最大值和0之间的较大者。

```python
import numpy as np

# 参数设置
S0 = 100  # 初始股票价格
K = 105  # 执行价格
r = 0.05  # 无风险利率
sigma = 0.2  # 波动率
T = 1  # 到期时间（年）
N = 252  # 一年的交易日数
M = 10000  # 模拟路径数量

# 生成模拟路径
dt = T / N
paths = np.zeros((M, N))
paths[:, 0] = S0
for i in range(M):
    for j in range(1, N):
        z = np.random.standard_normal()
        paths[i, j] = paths[i, j - 1] * np.exp((r - 0.5 * sigma**2) * dt + sigma * np.sqrt(dt) * z)

# 计算每条路径的几何平均价格
geometric_means = np.exp(np.mean(np.log(paths), axis=1))

# 计算期权收益
payoffs = np.maximum(K - geometric_means, 0)

# 计算期权价格
option_price = np.exp(-r * T) * np.mean(payoffs)
print(f'基于几何平均值的亚式平均价格看跌期权价格: {option_price}')

代码解释

参数设置

：设置初始股票价格

S0
、执行价格

K
、无风险利率

r
、波动率

sigma
、到期时间

T
、一年的交易日数

N
和模拟路径数量

M
。

生成模拟路径

：使用几何布朗运动模型生成

M
条模拟路径，每条路径包含

N
个时间步。

计算几何平均价格

：对于每条路径，计算其几何平均价格。

计算期权收益

：根据几何平均价格和执行价格计算每条路径的期权收益。

计算期权价格

：使用无风险利率对期权收益进行贴现，并计算平均值得到期权价格。

注意事项

蒙特卡罗模拟方法的精度取决于模拟路径的数量

M
，

M
越大，结果越精确，但计算时间也会越长。

这里假设标的资产价格遵循几何布朗运动。



##65、编写一个Python程序，使用SciPy中的permutation()函数从过去五年的数据中无放回地随机选择12个月度回报率。为了测试你的程序，你可以使用花旗集团（Citigroup）在2009年1月1日至2014年12月31日期间来自雅虎财经的数据。
以下是一个满足需求的Python程序示例：

```python
import numpy as np
import pandas as pd
import yfinance as yf

# 下载花旗集团在指定时间范围内的数据
start_date = '2009-01-01'
end_date = '2014-12-31'
stock_symbol = 'C'

# 使用yfinance下载数据
data = yf.download(stock_symbol, start=start_date, end=end_date)

# 计算月度回报率
monthly_data = data['Close'].resample('M').ffill()
monthly_returns = monthly_data.pct_change().dropna()

# 确保有足够的数据来选择12个月度回报率
if len(monthly_returns) < 12:
    print('数据不足，无法选择12个月度回报率。')
else:
    # 使用np.random.permutation进行无放回抽样
    random_indices = np.random.permutation(len(monthly_returns))[:12]
    selected_returns = monthly_returns.iloc[random_indices]
    print('随机选择的12个月度回报率：')
    print(selected_returns)

代码解释：

导入必要的库

：

numpy
用于数组操作和随机抽样，

pandas
用于数据处理，

yfinance
用于从雅虎财经下载股票数据。

下载数据

：使用

yfinance
下载花旗集团在2009年1月1日至2014年12月31日期间的股票数据。

计算月度回报率

：使用

resample
方法将每日数据转换为月度数据，并使用

pct_change
方法计算月度回报率。

检查数据量

：确保有足够的数据来选择12个月度回报率。

无放回抽样

：使用

np.random.permutation
生成随机索引，并选择前12个索引来获取随机的月度回报率。

输出结果

：打印随机选择的12个月度回报率。

66、如果两只股票今天的价格分别是40美元和55美元，这两只股票回报率的标准差分别是0.1和0.2，它们的相关性是0.45。基于这两只股票期末股价最大值的彩虹看涨期权的价格是多少？执行价格为60美元，到期期限为6个月，无风险利率为4.5%。

彩虹看涨期权价格计算

为了计算基于两只股票期末股价最大值的彩虹看涨期权的价格，我们可以使用蒙特卡罗模拟方法。以下是实现该计算的Python代码：


import scipy as sp
import numpy as np

# 设置随机种子以保证结果可复现
sp.random.seed(123)

# 输入参数
S1 = 40.0 # 股票1的当前价格
S2 = 55.0 # 股票2的当前价格
sigma1 = 0.1 # 股票1回报率的标准差
sigma2 = 0.2 # 股票2回报率的标准差
rho = 0.45 # 两只股票的相关性
K = 60.0 # 执行价格
T = 0.5 # 到期期限（6个月，即0.5年）
r = 0.045 # 无风险利率
n = 100000 # 模拟次数

# 生成两个零相关的随机时间序列
x1 = sp.random.normal(size=n)
x2 = sp.random.normal(size=n)

# 生成两个相关的随机时间序列
y1 = x1
y2 = rho * x1 + sp.sqrt(1 - rho**2) * x2

# 模拟股票价格路径
S1_T = S1 * np.exp((r - 0.5 * sigma1**2) * T + sigma1 * np.sqrt(T) * y1)
S2_T = S2 * np.exp((r - 0.5 * sigma2**2) * T + sigma2 * np.sqrt(T) * y2)

# 计算基于最大值的彩虹看涨期权的到期收益
payoff = np.maximum(np.maximum(S1_T, S2_T) - K, 0)

# 计算期权价格（折现到期收益的平均值）
option_price = np.exp(-r * T) * np.mean(payoff)

print("基于两只股票期末股价最大值的彩虹看涨期权的价格:", option_price)